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      /  請教有關數學競賽
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註冊日: 2007-09-30
發表數: 2


 請教有關數學競賽

今天所謂IMO中的大多數題目
深度超出高中算術課程
但是與大學數學比較下
並不有多少關聯性
那麼這些競賽的根本意義究竟是該如何解釋
對於一個行有餘力且對數學有著濃厚興趣的學子而言
該花時間於研究大學課程如微分方程、高維等等
亦或是死K諸多「競賽教程」、參加比賽呢

 2007-09-30 16:07個人資料
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 請教有關數學競賽

  不久前孩子解一道很普通的數學題目:
求(7x^2+8x+7)/(x^2+1)之極大極小值.
按照他所學過的知識,他應該這麼解:
1.以高三導數課程來看,令y=(7x^2+8x+7)/(x^2+1)=7+8x/(x^2+1)
y'=[8(x^2+1)-8x(2x)]/(x^2+1)^2,當y'=0時切線斜率為0,可能出現極大極小值
此時x=1,-1,代入求得極大極小值分別為11,3
2.以高一函數課程或國中進階,令k=(7x^2+8x+7)/(x^2+1),(7-k)x^2+8x+7-k=0有解,判別式 > = 0,求得(k-11)(k-3) < = 0
因此極大極小值分別為11,3
************************************************************
但他沒有使用以上方法,他的解法是:
1.x等於0時,y=7
2.x不等於0時y=7+8/(x+1/x),x+1/x之大於等於2或小於等於-2
代入求得極大極小值分別為11,3
************************************************************
  我很高興他能這樣做,簡璊F他曾習得的既有知識,因為這一題的分子分母比較特殊,所以他看到了這一點.至於x+1/x他則不用傳統算術平均或代數推演,而是以目前學校所教的分數概念去理解,這一點也是略有進步.

  數學不同於其他實驗科學,往往一個資質好的幼童,可以跳級在很小的年紀就探索到高深的領域,證諸國內外釵h提早修得學位的資優兒童,很多都是從事數學相關領域研究.有點像音樂和藝術相關領域,很快就能展露天分.但此後真能在研究領域出類拔萃者卻不多,可見任何學問,可以短時間求得速通,但真正要有突破,還是需要時日來建築雄厚根基.

  一個行有餘力且對數學有著濃厚興趣的學子面對任何數學題目,都會想一探究竟,為了解題,千方萬計盡自己的能力去做,加強相關課程的研習,甚至簡甈J有知識,另求思維,或酗@個小學生為了解一個小學生程度就能解的題目,他能用自己的方法求出,或者為了求得更加嚴密思考,他可以在短時間內把國中課程全部搞懂,甚至更有進者,但回過頭來面對每一個難題,這些既得的知識,不過是基本的參考工具罷了.

  另外,要參加競賽,並非要死K諸多「競賽教程」,也不是每題都非弄得精熟不可.釵h難題其實出自於各方學有專精的數學家或數學教育家們所設計而出,它可能隱藏著在解決高深課題時一些關鍵奧妙處.多多接觸這類題目,不見得對於往後選擇的興趣發展無益,他可能可以引導從事程式設計的人改變設計模式,可能提供從事巿場調查者一個新的方法.

  把這些練習當做是一種廣泛的嬝版峈抶ㄓO訓練方式,既然行有餘力,自然不會排斥.孩子們或有競爭高下的本性,但最終結果,聰明的小孩也會領略到過程的充實與豐富.至於花時間於研究大學課程如微分方程、高維等等,如果認為實際,投諸心力亦無妨,問題是,果真提前完成這些工作,也只是把這些知識提前忘掉罷了.

  我沒有讓孩子再去學習更多的課程,也沒有特別讓他演練任何競賽題目,每次討論區有人提出問題,他有時間就讓他算個幾題,沒有時間就算了,有些題目,再研究個幾年時間都不夠用,但稍有研究進展的,都可以寫一篇不錯的報告了.當得到結果後再去找到相關的課程內容,發現甚至大學以上的課程內容,居然在摸索之中已經該懂的都懂了,有一天真的去修這些課程,真如舊地重遊.

  誰還會記得大學修過的微分方程、線性代數等等,除非繼續從事相關學術研究者.我的數學程度平平,但比起我一些從事學術研究工作的同學,還好一點點,叫這些教授們來做個幾題,包準滿頭大汗,這些競賽題目,是給孩子們玩的,他們覺得好玩就好,我們不必去浪費時間幫他們挑選玩具與玩的方式. 

 2007-09-30 19:43個人資料


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