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      /  環球城市數學競賽國中初級卷第二題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽國中初級卷第二題

2. 在黑板上寫下兩個實數:1與x(其中x不是整數)。允酗U列操作:
(1) 可以寫下一個等於黑板上任意二個數之和或差的數。
(2) 可以寫下一個黑板上任意一個數的倒數。
請問能不能進行有限次上述操作後可以寫下 x^2?(四分)


_________________
孫文先 敬上

 2007-10-22 10:28個人資料傳送 Email 給 孫文先
arsene996655
Not too shy to talk



註冊日: 2005-10-13
發表數: 27


 Re: 環球城市數學競賽國中初級卷第二題

這不能吧
但應該如何完整證明?

 2007-10-22 22:55個人資料傳送 Email 給 arsene996655拜訪網站yim
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 環球城市數學競賽國中初級卷第二題

依序寫下x+1,1/(x+1),x-1,1/(x-1),1/(x-1)-1/(x+1)=2/(x^2-1),(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1,x^2-1+1=x^2

更正:
x+1,1/(x+1),x-1,1/(x-1),1/(x-1)-1/(x+1)=2/(x^2-1),(x^2-1)/2,(x^2-1)/2+1=(x^2+1)/2,(x^2-1)/2+(x^2+1)/2=x^2

 2007-10-23 12:38個人資料
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 環球城市數學競賽國中初級卷第二題

要說明為何能作(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1否則會被扣分。


_________________
孫文先 敬上

 2007-10-23 13:01個人資料傳送 Email 給 孫文先
j7631103
Home away from home



註冊日: 2005-03-06
發表數: 490


 Re: 環球城市數學競賽國中初級卷第二題

引文:

孫文先 寫道:
要說明為何能作(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1否則會被扣分。


不是1/(x-1),1/(x+1)再減一遍就行了嗎?

還有應該要考慮1>x,因為此時兩數之差為1-x就不同了

 2007-10-23 21:39個人資料傳送 Email 給 j7631103
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 環球城市數學競賽國中初級卷第二題

就是要多說這一句話,同理再做一遍可得同樣的數。
因為操作規則不允釦滮@個數加倍,黑板上又沒有兩個相同的數。


_________________
孫文先 敬上

 2007-10-24 10:39個人資料傳送 Email 給 孫文先
joey
Home away from home



註冊日: 2006-09-15
發表數: 257
nowhere

 Re: 環球城市數學競賽國中初級卷第二題

那麼步驟應為:
x, 1, x+1, 1/(x+1), x-1, 1/(x-1), 1/(x+1)-1/(x-1)=2/(x^2-1), (x^2-1)/2, (x^2-1)/2,
(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1, x^2-1+1=x^2
只要x是非整數的實數,都成立(尤其x絕對不能是+1或-1)


_________________
我們究竟來自何方,我們為何如此,又將前往何處?

 2007-10-24 21:23個人資料傳送 Email 給 joey
j7631103
Home away from home



註冊日: 2005-03-06
發表數: 490


 Re: 環球城市數學競賽國中初級卷第二題

應該要考慮1>x吧!
我的做法
(1)若x>1,則x與1的差=x-1
步驟依序如下
x+1,1/(x+1)
x-1,1/(x-1)(其中x-1與x+1必不為0,因為x不為整數)
1/(x-1)-1/(x+1)=2/(x^2-1)(因為1/x-1>1/x+1,所以用1/x-1-1/x+1),(x^2-1)/2
重複上述步驟再作一次
(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1
x^2-1+1=x^2
(2)若1>x,則x與1的差=1-x
步驟依序如下
x+1,1/(x+1)
1-x,1/(1-x)(其中1-x與x+1必不為0,因為x不為整數)
1/(1-x)+1/(x+1)=2/(1-x^2),(1-x^2)/2
重複上述步驟再作一次
(1-x^2)/2+(1-x^2)/2=1-x^2
1-(1-x^2)=x^2(因為x^2>0,所以1>(1-x^2),故使用1-(1-x^2))
綜合(1)(2)故可以經有限次後製造出x^2

 2007-10-24 22:02個人資料傳送 Email 給 j7631103
mathtutorchen
Just popping in



註冊日: 2007-03-30
發表數: 3


 Re: 環球城市數學競賽國中初級卷第二題

當孫老師說到要說明為何能作(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1否則會被扣分時,故意不點明任意兩數指的是必須寫在黑板上的不同數,但bubupin意會過來加以更正了.
另外,兩數之差是否非正數不行,如果是這樣,當然你的考慮是比較謹慎的.

 2007-10-24 22:15個人資料
mico547
Just popping in



註冊日: 2006-10-30
發表數: 8


 Re: 環球城市數學競賽國中初級卷第二題

x.1/x.x+1.1/x+1.x-1.x-1+1/x+1=x^2/x+1.x+1/x^2
x+1/x^2-1/x=1/x^2.x^2是否也可

 2007-10-24 23:52個人資料
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