2. 在黑板上寫下兩個實數：1與x（其中x不是整數）。允酗U列操作：
(1) 可以寫下一個等於黑板上任意二個數之和或差的數。
(2) 可以寫下一個黑板上任意一個數的倒數。
請問能不能進行有限次上述操作後可以寫下 x^2？（四分）

_________________
孫文先 敬上

這不能吧
但應該如何完整證明?

依序寫下x+1，1/(x+1)，x-1，1/(x-1)，1/(x-1)-1/(x+1)=2/(x^2-1)，(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1，x^2-1+1=x^2

更正:
x+1，1/(x+1)，x-1，1/(x-1)，1/(x-1)-1/(x+1)=2/(x^2-1)，(x^2-1)/2，(x^2-1)/2+1=(x^2+1)/2，(x^2-1)/2+(x^2+1)/2=x^2

要說明為何能作(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1否則會被扣分。

_________________
孫文先 敬上

就是要多說這一句話，同理再做一遍可得同樣的數。
因為操作規則不允釦滮@個數加倍，黑板上又沒有兩個相同的數。

_________________
孫文先 敬上

那麼步驟應為：
x, 1, x+1, 1/(x+1), x-1, 1/(x-1), 1/(x+1)-1/(x-1)=2/(x^2-1), (x^2-1)/2, (x^2-1)/2,
(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1, x^2-1+1=x^2
只要x是非整數的實數，都成立(尤其x絕對不能是+1或-1)

_________________
我們究竟來自何方，我們為何如此，又將前往何處？

應該要考慮1>x吧!
我的做法
(1)若x>1,則x與1的差=x-1
步驟依序如下
x+1,1/(x+1)
x-1,1/(x-1)(其中x-1與x+1必不為0,因為x不為整數)
1/(x-1)-1/(x+1)=2/(x^2-1)(因為1/x-1>1/x+1,所以用1/x-1-1/x+1),(x^2-1)/2
重複上述步驟再作一次
(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1
x^2-1+1=x^2
(2)若1>x,則x與1的差=1-x
步驟依序如下
x+1,1/(x+1)
1-x,1/(1-x)(其中1-x與x+1必不為0,因為x不為整數)
1/(1-x)+1/(x+1)=2/(1-x^2),(1-x^2)/2
重複上述步驟再作一次
(1-x^2)/2+(1-x^2)/2=1-x^2
1-(1-x^2)=x^2(因為x^2>0,所以1>(1-x^2),故使用1-(1-x^2))
綜合(1)(2)故可以經有限次後製造出x^2

當孫老師說到要說明為何能作(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1否則會被扣分時,故意不點明任意兩數指的是必須寫在黑板上的不同數,但bubupin意會過來加以更正了.
另外,兩數之差是否非正數不行,如果是這樣,當然你的考慮是比較謹慎的.

x.1/x.x+1.1/x+1.x-1.x-1+1/x+1=x^2/x+1.x+1/x^2
x+1/x^2-1/x=1/x^2.x^2是否也可