2. 在黑板上寫下三個正實數:1、x與y。允酗U列操作:(1) 可以寫下一個等於黑板上任意二個數之和或差的數。(2) 可以寫下一個黑板上任意一個數的倒數。請問能不能進行有限次上述操作後可以寫下:(a) x^2 ;(二分)(b) xy。(二分)
_________________孫文先 敬上
好像都可以做呢~只要做出來就給分嗎?還是要證明不是"不能做"??
(a).x+1,1/(x+1),x-1,1/(x-1),1/(x-1)-1/(x+1)=2/(x^2-1),(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1,x^2-1+1=x^2(b).由上同理可寫出x^2,y^2,(x+y)^2,再依序寫出(x+y)^2-x^2=2xy+y^2,2xy+y^2-y^2=2xy,1/2xy,1/2xy+1/2xy=1/xy,xy
要說明為何能作(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1 與1/2xy+1/2xy=1/xy 否則會被扣分。
謝謝您百忙中抽空指導,我會轉告孩子,讓他再多多改進.(a).x+1,1/(x+1),x-1,1/(x-1),1/(x-1)-1/(x+1)=2/(x^2-1),(x^2-1)/2,(x^2-1)/2+1=(x^2+1)/2,(x^2-1)/2+(x^2+1)/2=x^2(b).由上同理可寫出x^2,y^2,(x+y)^2,(x-y)^2再依序寫出(x+y)^2-(x-y)^2=4xy,1/(4xy),(x+y)^2-x^2=2xy+y^2,2xy+y^2-y^2=2xy,1/(2xy),1/(2xy)+1/(4xy)=3/(4xy),3/(4xy)+1/(4xy)=1/(xy),xy
唉呀!怎麼沒想到呢!一定是數學直觀太差,外加太久沒動腦袋了。懷念有春季賽、秋季賽、初級卷、高級卷的日子,這樣一年裡至少有18小時可以把手機關起來,好好享受思考的樂趣。年過三十,可以心無旁騖的想問題變成一種奢求。希望環球數學要一直辦下去!它無法成為大眾化的比賽,但卻是一小群人的精神所繫啊!
這種問題有可能會有不能在有限次操作中做出來的時候嗎?把上面的x^2及xy換成其他種時我做不出來但又不能確定是不是真的沒有辦法做出來
已知任意相異正實數1,x,y,可以做出xy,x^2,y^2設對任意相異正實數1,A,B,可以做出AB,記為(A,B)=AB1.(x^2,x)=x^3,(x,x^3)=x^4,(x^2,x^3)=x^5,(x^5,x)=x^6.....(x,x^n-1)=x^n,同理可以做出y^n,(xy)^n2.若x^m=y^n,則x^m不等於y^(n-1),當n=1時y^(n-1)=1,則(x^m,y^n-1)=x^m*y^n-1,(x^m*y^n-1,y)=x^m*y^n3.由上得知,利用加減組合亦可形成x,y之多項式