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   /  高中
      /  環球城市數學競賽高中初級卷第二題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽高中初級卷第二題

2. 在黑板上寫下三個正實數:1、x與y。允酗U列操作:
(1) 可以寫下一個等於黑板上任意二個數之和或差的數。
(2) 可以寫下一個黑板上任意一個數的倒數。
請問能不能進行有限次上述操作後可以寫下:
(a) x^2 ;(二分)
(b) xy。(二分)


_________________
孫文先 敬上

 2007-10-22 10:51個人資料傳送 Email 給 孫文先
a9765625
Just popping in



註冊日: 2007-03-25
發表數: 4


 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第二題

好像都可以做呢~

只要做出來就給分嗎?
還是要證明不是"不能做"??

 2007-10-22 21:52個人資料
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第二題

(a).x+1,1/(x+1),x-1,1/(x-1),1/(x-1)-1/(x+1)=2/(x^2-1),(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1,x^2-1+1=x^2

(b).由上同理可寫出x^2,y^2,(x+y)^2,再依序寫出
(x+y)^2-x^2=2xy+y^2,2xy+y^2-y^2=2xy,1/2xy,1/2xy+1/2xy=1/xy,xy

 2007-10-23 12:46個人資料
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第二題

要說明為何能作(x^2-1)/2+(x^2-1)/2=x^2-1 與1/2xy+1/2xy=1/xy 否則會被扣分。


_________________
孫文先 敬上

 2007-10-23 13:18個人資料傳送 Email 給 孫文先
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第二題

謝謝您百忙中抽空指導,我會轉告孩子,讓他再多多改進.
(a).x+1,1/(x+1),x-1,1/(x-1),1/(x-1)-1/(x+1)=2/(x^2-1),(x^2-1)/2,(x^2-1)/2+1=(x^2+1)/2,(x^2-1)/2+(x^2+1)/2=x^2

(b).由上同理可寫出x^2,y^2,(x+y)^2,(x-y)^2
再依序寫出(x+y)^2-(x-y)^2=4xy,1/(4xy),
(x+y)^2-x^2=2xy+y^2,2xy+y^2-y^2=2xy,1/(2xy),
1/(2xy)+1/(4xy)=3/(4xy),3/(4xy)+1/(4xy)=1/(xy),xy


 2007-10-23 13:30個人資料
ALPHONSE
Quite a regular



註冊日: 2003-11-11
發表數: 43
嘉義市

 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第二題

唉呀!怎麼沒想到呢!
一定是數學直觀太差,
外加太久沒動腦袋了。

懷念有春季賽、秋季賽、初級卷、高級卷的日子,
這樣一年裡至少有18小時可以把手機關起來,
好好享受思考的樂趣。

年過三十,
可以心無旁騖的想問題變成一種奢求。

希望環球數學要一直辦下去!
它無法成為大眾化的比賽,
但卻是一小群人的精神所繫啊!

 2007-10-25 17:17個人資料拜訪網站
skywalkerJ.L.
Just popping in



註冊日: 2006-12-22
發表數: 8


 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第二題

這種問題有可能會有不能在有限次操作中做出來的時候嗎?
把上面的x^2及xy換成其他種時
我做不出來
但又不能確定是不是真的沒有辦法做出來

 2007-10-28 09:07個人資料
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第二題

已知任意相異正實數1,x,y,可以做出xy,x^2,y^2

設對任意相異正實數1,A,B,可以做出AB,記為(A,B)=AB

1.(x^2,x)=x^3,(x,x^3)=x^4,(x^2,x^3)=x^5,(x^5,x)=x^6.....(x,x^n-1)=x^n,同理可以做出y^n,(xy)^n
2.若x^m=y^n,則x^m不等於y^(n-1),當n=1時y^(n-1)=1,
則(x^m,y^n-1)=x^m*y^n-1,(x^m*y^n-1,y)=x^m*y^n
3.由上得知,利用加減組合亦可形成x,y之多項式

 2007-10-28 18:07個人資料


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