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   /  高中
      /  環球城市數學競賽高中初級卷第三題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽高中初級卷第三題

3. 線段AV平行於直線L。請用沒有刻度的直尺與圓規在此直線上作出點S,使得AS×VS之值最小。(四分) (註:必須寫下作圖方法及證明)


_________________
孫文先 敬上

 2007-10-22 10:52個人資料傳送 Email 給 孫文先
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第三題

設A,V在L的垂足為B,W,線段AV與直線L間垂直距離為d,AV長度為k

(1)若S不介於B,W之間,設BS=x,SW=k+x或BS=k+x,SW=x
則AS^2×VS^2=(d^2+x^2)(d^2+(k+x)^2) > = (d^2+(x^2+kx))^2
x^2+kx之最小值為x=-k/2時,但x必須大於等於0,故此時之最小值不符

(2)
(i)S若介於B,W之間,設BS=x,SW=k-x
則AS^2×VS^2=(d^2+x^2)(d^2+(k-x)^2) > = (d^2+(x^2-kx))^2
x^2-kx之最小值為x=k/2時有最小值d^2-k^2/4
但此僅適用於d^2-k^2/4大於0,也就是d > = k/2時

(ii)當S在L上,三角形ASW的面積皆為k*d*1/2
同時也可利用1/2*ASxVS*sinS求得,故當sinS有最大值1時,ASxVS有最小值,此時夾角ASV等於90度.

************************************************************
當AS和L之垂直距離大於等於AS長度之一半時,作其投影線段之中點即可
作圖方法:1.分別以A,V為圓心,取大於AV一半長為半徑,作兩圓弧交於P,Q兩點
     2.連接P,Q兩點並延長使其交L於S點,S點即為所求

當AS和L之垂直距離小於AS長度之一半時
作圖方法:1.分別以A,V為圓心,取大於AV一半長為半徑,作兩圓弧交於P,Q兩點
     2.連接P,Q兩點交AS點於K點
     3.以K為圓心,AK為半徑畫圓交L於S,S'兩點,則S,S'皆符合所求

 2007-10-23 12:45個人資料
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第三題

您並未證明

當AS和L之垂直距離小於AS長度之一半時,您的結果是最小的。


_________________
孫文先 敬上

 2007-10-23 13:13個人資料傳送 Email 給 孫文先
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第三題

對不起,您應該是有提到。


_________________
孫文先 敬上

 2007-10-23 13:51個人資料傳送 Email 給 孫文先


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