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      /  環球城市數學競賽高中初級卷第五題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽高中初級卷第五題

5. 將一個1×1的正方形切成三個凸多邊形,能否使得切出的每個凸多邊形的直徑都不超過:(一個凸多邊形的直徑是指它的所有對角線長度的最大值。)
(a) 1;(一分)
(b) 1.01;(二分)
(c) 1.001?(二分)
(註:連接多邊形內任意二點之線段,若仍全部落在多邊形之內部,則稱此多邊形為凸多邊形。)


_________________
孫文先 敬上

 2007-10-22 10:53個人資料傳送 Email 給 孫文先
路過
Quite a regular



註冊日: 2006-10-06
發表數: 51
彰化縣彰化高中

 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第五題

光這一題的想法我就寫好久,證明出只有一種可能= =

我發現其他題我都很出心的寫錯,抱括這題= =,計算

錯誤,能三等就要偷笑了...不好意思,下面的仁兄,我好

像又算錯了= =

 2007-10-26 00:37個人資料傳送 Email 給 路過msnm
路過
Quite a regular



註冊日: 2006-10-06
發表數: 51
彰化縣彰化高中

 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第五題

不好意思,我把論證省去...而且圖畫的不好,不好意思

 2007-10-26 00:40個人資料傳送 Email 給 路過msnm
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第五題

  容我最後一次分享,讓這段過程有個結束.
留下這一題,等了三天,終於有人勇敢表達看法,
真想對你說:兄弟!終於看到你了.
我覺得只要努力不懈,一天想出來跟一年後想出來是
沒多大差別的,我也鼓勵自己的孩子,不要害怕困
難,認真去想出自己的辦法.我們也不知道解法對不
對,總是有個想法可以表達出來,只要寫出來總會有
人提出指教,讓別人發現我們的錯誤,就是我們最大
的收穫.

  神豬的算法比較悲壯,用土法煉鋼方式推砌自己的想法.
1.正方形切成三個凸多邊形,內部若1個共用頂點,
一律歸類呈"囚"形.或者內部無頂點,呈"目"型.
其中"囚"形,可切割為三個四邊形或(兩個四邊形加上
一個五邊形).

2.盡量控制上方四邊形的直徑在一個較小的數值以
下.避免當一個直徑小時,另一個直徑過大,
故若採用"目"形,則取三全等長方形
若考慮"囚"形,則上方為兩全等梯形,下方為一以y
軸為對稱軸的五邊形.
***********************************************************
(a)無論"目"型或"囚"形,必有一對角線為直角三角形
之斜邊,而其中一股為1,
故該對角線必大於1,因此無法切出的每個凸多邊形
的直徑都不超過1.

(b)採用"目"形,則所得直徑最小值為[(1/3)^2+1^2]=
(10/9)^1/2,此數值大於1.01,
但若採用"囚"形,其直徑等於1.01時,其所在直角三角
形一股為1,則另一股a成立a^2=(1.01)^2-1^2=(1.01+1)
(1.01-1)=2.01*0.01,故a=1/10*(2.01)^1/2,
則上方兩四邊形取其直徑相等時有最小值b,應符合
b^2=(1-a)^2+(1/2)^2=a^2-2a+5/4=1/100*[2.01-20*
(2.01)^1/2+125]~~0.99;故b < 1,亦即可以切出的
每個凸多邊形的直徑都不超過1.01.

(c)同理,採用"目"形,數值大於1.001,若採
用"囚"形,取1.001時
a^2=(1.001)^2-1^2=2.001*0.001=20.01*0.0001,故
a=1/100*(20.01)^1/2
b^2=(1-a)^2+(1/2)^2=a^2-2a+5/4=1/100[0.201-2*
(20.01)^1/2+125)
=1/100*(125.201-2*(20.01)^1/2) > 1.15 (將20.01換成
25),因此b > 1.001

因此無論為目型或囚型,無法使得每個凸多邊形的直
徑都不超過1.001.
**********************************************************
綜上所述,題目中只有(b) 1.01成立.

 2007-10-26 13:00個人資料
路過
Quite a regular



註冊日: 2006-10-06
發表數: 51
彰化縣彰化高中

 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第五題

怪異,我覺得有個地方有問題
則上方兩四邊形取其直徑相等時有最小值b,應符合
b^2=(1-a)^2+(1/2)^2=a^2-2a+5/4=1/100*[2.01-20*
(2.01)^1/2+125]~~0.99;故b < 1,亦即可以切出的
每個凸多邊形的直徑都不超過1.01.


這邊有問題吧,有直徑相等的可能?
不好意思,昨天算錯..應該是要大於等於根號6-根號2才會成立

我還是堅持我的看法...

假設AB=AC>BC
設AC=a
則BC=2^1/2 * (1-(a^2 - 1) ^(1/2))
AC^2 > BC^2

a^2 > 2 * (a^2-2(a^2 - 1) ^(1/2) )

4 * ((a^2 - 1) ^(1/2)) > a^2

16(a^2-1) > a^4

得知 a>6^(1/2) -2^(1/2)

再假設BC>AB

設BC=a
則AB^2=2 + 1/2 a^2 - 2^(1/2) a

2a^2 > 4 + a^2 - 2 * 2^(1/2) a

a^2 + 2 * 2^(1/2) a > 4

可得知 a > 6^(1/2) -2^(1/2)

所以最長邊只要大於等於根號6-根號2都成立

你說的對,數學是建立在討論上...我認為你的作法錯誤了,如果可以的話,希望你盡量反駁我..我的想法應該比較正確,你的圖形錯誤的地方應該是沒考慮另一條對角線..而且...過程還沒結束,除非大家都討論出一個最棒的想法,這題才算真正結束吧..

 2007-10-26 18:34個人資料傳送 Email 給 路過msnm
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第五題

我所謂的結束,指的是之前獨漏這一題,覺得應該也發表一些做法,以便做個結束,並非指這一題我提供做法就可以結束討論或堅持自己的做法是對的.

如果兩個多邊形全等,按照定義其直徑就該相等.

 2007-10-26 21:07個人資料
路過
Quite a regular



註冊日: 2006-10-06
發表數: 51
彰化縣彰化高中

 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第五題

恩,的確相等,但你忘記有一條對角線比你說的2個直徑及1.01還要長==,那就是(5^(1/2))/2這應該是你的意思吧

可以上傳圖檔嗎?

 2007-10-26 21:25個人資料傳送 Email 給 路過msnm
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第五題

右側應為一個五邊形或長方形,而非直角三角形,我指的直角三角形是指最長對角線與正方形一邊和另一邊的一小段所形成的.(囚這個字的下方取五邊形或長方形)

 2007-10-26 21:34個人資料
路過
Quite a regular



註冊日: 2006-10-06
發表數: 51
彰化縣彰化高中

 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第五題

嗯嗯,知道了,雖然有洗版...但還是想搞懂==
搞懂你的意思了

看來我錯了...真的沒想過有這種可能..恩,隨著年紀的增長==思考果然越來越遲鈍...算了,上面幾個圖形是畫給人,給跟我一樣粗心的人...

 2007-10-26 21:38個人資料傳送 Email 給 路過msnm
bubupin
Home away from home



註冊日: 2007-03-13
發表數: 353


 Re: 環球城市數學競賽高中初級卷第五題

圖形畫對了,但五邊形上方的頂點往下拉低一點,別讓另外的對角線顯得太大
因為先要盡量讓所有對角線長數值壓低
抱歉讓你浪費這麼多時間,我一開始只想交代一下,沒打算解釋太清楚
謝謝你幫我澄清

 2007-10-26 21:45個人資料
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