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      /  環球城市數學競賽2007秋季賽高級卷高中組第一題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽2007秋季賽高級卷高中組第一題

1. (a) 小皮與小白心裡各想著三個正整數。小皮在黑板寫下他所選的數中,每一對數的最大公因數。小白在黑板寫下他所選的數中,每一對數的最小公倍數。若小皮與小白在黑板所寫下的三個數一樣,試證他們在黑板寫下的這三個數全都是同一個數。(二分)
(b) 如果小皮與小白心裡各想四個數,請問上述的論證是否仍然成立?(二分)


_________________
孫文先 敬上

 2007-12-16 12:44個人資料傳送 Email 給 孫文先
路過
Quite a regular



註冊日: 2006-10-06
發表數: 51
彰化縣彰化高中

 Re: 環球城市數學競賽2007秋季賽高級卷高中組第一題

滿高興的,證出來了,就像bubupin大大說的吧...花個一個月跟花一天其實差不多(話說都是有時間才拿出來想,後段班老師都逼好緊,因為怕比不上前段班,冏)

設小皮心中三數為a,b,c
小白心中三數為d,e,f

容易得知a=[d,e,f]X
b=[d,e,f]Y
c=[d,e,f]Z

乃因設(a,b)=[d,e] (b,c)=[e,f] (a,c)=[d,f]
a為d,e,f之倍數,故可堆論上述
同理b,c

接著就可輕易得知X,Y,Z相互互質
且[d,e]=[d,f]=[e,f]

 2007-12-28 00:07個人資料傳送 Email 給 路過msnm
路過
Quite a regular



註冊日: 2006-10-06
發表數: 51
彰化縣彰化高中

 Re: 環球城市數學競賽2007秋季賽高級卷高中組第一題

第二小題詳細想法去學校再想...睡覺去..

 2007-12-28 00:20個人資料傳送 Email 給 路過msnm


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