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   /  高中
      /  環球城市數學競賽2007秋季賽高級卷高中組第二題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽2007秋季賽高級卷高中組第二題

2. 在圓內接四邊形ABCD中,點K、L、M、N分別為邊AB、BC、CD、DA的中點,點P為AC與BD的交點。試證三角形PKL、PLM、PMN、PNK的外接圓半徑都彼此相等。(六分)


_________________
孫文先 敬上

 2007-12-16 12:44個人資料傳送 Email 給 孫文先
henrylu1213
Just popping in



註冊日: 2007-10-12
發表數: 1


 Re: 環球城市數學競賽2007秋季賽高級卷高中組第二題

因為klmn為平行四邊形,可以考慮平移三角形,再証共圓.
証:
作LE平行KP,NF平行KP,使得三角形KPN全等於三角形LEM,三角形KPL全等於三角形NFM
再證明PLCM,NPMF分別共圓(可用一些相似三角形使得一些角度相同來證明)
於是等於說明了三角形KPN,LPM有相同的半徑
三角形KPL,NPM有相同的半徑
再證明PLCM全等於NPMD即可
詳細細節大家可以再加思索便可得出了

 2007-12-21 20:12個人資料
笑哥
Just can't stay away



註冊日: 2007-11-14
發表數: 76


 Re: 環球城市數學競賽2007秋季賽高級卷高中組第二題

設圓O為四邊形ABCD之外接圓
三角形AKN與三角形PKN全等(SSS),與三角形ABD相似,故三角形PKN外接圓半徑為圓O之半徑之1/2

四邊形BKLP與四邊形ABCD四個角相等,其四個邊又為四邊形ABCD四個邊之一半,故與四邊形ABCD相似,故三角形KPL之外接圓半徑為圓O半徑之1/2

同理可證題中四個三角形的外接圓半徑都等於圓O半俓之1/2

 2007-12-24 00:29個人資料


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