2. 在圓內接四邊形ABCD中,點K、L、M、N分別為邊AB、BC、CD、DA的中點,點P為AC與BD的交點。試證三角形PKL、PLM、PMN、PNK的外接圓半徑都彼此相等。(六分)
_________________孫文先 敬上
因為klmn為平行四邊形,可以考慮平移三角形,再証共圓.証:作LE平行KP,NF平行KP,使得三角形KPN全等於三角形LEM,三角形KPL全等於三角形NFM再證明PLCM,NPMF分別共圓(可用一些相似三角形使得一些角度相同來證明)於是等於說明了三角形KPN,LPM有相同的半徑三角形KPL,NPM有相同的半徑再證明PLCM全等於NPMD即可詳細細節大家可以再加思索便可得出了
設圓O為四邊形ABCD之外接圓三角形AKN與三角形PKN全等(SSS),與三角形ABD相似,故三角形PKN外接圓半徑為圓O之半徑之1/2四邊形BKLP與四邊形ABCD四個角相等,其四個邊又為四邊形ABCD四個邊之一半,故與四邊形ABCD相似,故三角形KPL之外接圓半徑為圓O半徑之1/2同理可證題中四個三角形的外接圓半徑都等於圓O半俓之1/2