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      /  極限值問題
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發布者內容列
jen_chih_wu
Just popping in



註冊日: 2007-04-25
發表數: 15


 極限值問題

題目是:
若m為實數,且
{( 2m +1)x + (m+2)y = 2
{( 3m +2)x + (m+3)y = 3
則令x^2+y^2有最大值的m為?
且,最大值為?

有點難做,不知道高手們可以提供些想法嗎?

 2008-01-10 17:07個人資料
j7631103
Home away from home



註冊日: 2005-03-06
發表數: 490


 Re: 極限值問題

引文:

jen_chih_wu 寫道:
題目是:
若m為實數,且
{( 2m +1)x + (m+2)y = 2
{( 3m +2)x + (m+3)y = 3
則令x^2+y^2有最大值的m為?
且,最大值為?

有點難做,不知道高手們可以提供些想法嗎?


我還沒做出,不過我先提供我做到的地步
就是先解聯立方程式的根
易得x=m/(m^2+m+1),y=1/(m^2+m+1)
所以x^2+y^2=(m^2+1)/(m^2+m+1)^2
但就卡住了,我覺得可能是用柯西不等式

 2008-01-15 21:38個人資料傳送 Email 給 j7631103
路過
Quite a regular



註冊日: 2006-10-06
發表數: 51
彰化縣彰化高中

 Re: 極限值問題

算錯..

 2008-01-16 23:23個人資料傳送 Email 給 路過msnm
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 極限值問題

解出x=m/(m^2+m+1) (m實數,m^2+m+1恆>=3/4)
y=1/(m^2+m+1)
=> x^2+y^2 =(m^2+1)/(m^2+m+1)^2...(*)
再求(*)的max............

 2008-01-17 13:06個人資料
j7631103
Home away from home



註冊日: 2005-03-06
發表數: 490


 Re: 極限值問題

引文:

abc831128 寫道:
解出x=m/(m^2+m+1) (m實數,m^2+m+1恆>=3/4)
y=1/(m^2+m+1)
=> x^2+y^2 =(m^2+1)/(m^2+m+1)^2...(*)
再求(*)的max............


就如你所說的,那要怎麼求啊..........
我是有算出x,y的範圍
1/3>=x>=-1
4/3>=y>=0

 2008-01-17 20:21個人資料傳送 Email 給 j7631103
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 極限值問題

用maple 解出
m=-.6823278040 ; 最大值 f(m)=2.388984942

 2008-01-18 13:20個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 極限值問題

用maple 解出
m=-.6823278040 ; 最大值 f(m)=2.388984942
我不太確定

 2008-01-18 13:21個人資料
笑哥
Just can't stay away



註冊日: 2007-11-14
發表數: 76


 Re: 極限值問題

x^2+y^2 =(m^2+1)/(m^2+m+1)^2
令A=m^2+1,B=m^2+m+1
則A'B=B'A時x^2+y^2可能出現極大極小值
亦即m^3+m+1=0時m之實數解代入即可求得
上式整理得m^2+1=-1/m
x^2+y^2=(m^2+1)y^2=-y^2/m
y=1/(m^2+m+1)=1/(m-1/m)
m=~ -2/3
如abc831128所言以近似值m=-0.6823278040代入求最大值概數f(m)=2.388984942即可


 2008-01-18 14:14個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 極限值問題

令x=tanA,1/f(x)=(xx+1+x)^2/(xx+1)
=[(secA)^2+tanA]^2/(secA)^2=(secA+sinA)^2

轉求1/f(x)之極小值,令(1/f)’=2(secA+sinA)(secAtanA+cosA)=0
secA+sinA=0(無實根),或secAtanA+cosA=0
[sinA+(cosA)^3]/(cosA)^2=0,sinA+(cosA)^3=0
sinA/[cosA(cosA)^2]+1=0,tanA*(secA)^2+1=0
tanA*[(tanA)^2+1]+1=0,x^3+x+1=0,x約-0.682327803828019

由公式解得x實根=(-9+√93)^(1/3)+(-9-√93)^(1/3)
此時f(x)有極大值M,1/M=(xx+1+x)^2/(xx+1)
=(-1/x+x)^2/(-1/x)=-x[xx-2+1/(xx)]=-x^3+2x-1/x
=x+1+2x+xx+1=xx+3x+2=(x+1)(x+2)
M=1/[(x+1)(x+2)]或1/(x+1)-1/(x+2)約2.38898484242336(由excel)

 2008-01-18 17:29個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 極限值問題

請問:則A’B=B’A時x^2+y^2可能出現極大極小值
為什麼?

 2008-01-18 20:58個人資料
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