(1)設n為大於2的正整數 證明存在一個質數p

滿足n!>p>n
(2)以知ㄧ個1000位正整數的任意連續10個數碼形成的10位數
是2^10的倍數證明該正整數為2^1000為該正整數的倍數

1.(n!,n!-1)=1，n!和n!-1互質，則n!-1必含有一大於n之質因數p且p < = n!-1 < n!
故存在一個質數p滿足n! > p > n

設該正整數為A1A2...........A1000

取A1....A10，A2...A11，A3....A12，....時個位數字A10,A11,....,A1000必為偶數
故當i=10~1000，Ai均為偶數

如何解釋
n!-1必含有一大於n之質因數p且p < = n!-1 < n!？

設該正整數x=a1a2a3.....a1000其中ai是十進位數碼
.由條件可知2^10整除a991.....a1000
2^10整除a990...........a999
因此2^10整除a990...........a999乘10
記y=a991.....a1000則有
2^10整除a990乘10^10+10y
故2^10整除10y
結合2^10整除a991.....a1000可知
2^10整除10y+a1000
於是2^10整除a1000
這要求a1000=0
類似的 朝前倒推可得
a11=.......a1000=0
即x=a1........a10乘10^990
再結合條件2^10整除a1............a10
可得a11=................=a1000=0
即可的2^1000整除x

如何解釋
n!-1必含有一大於n之質因數p且p < = n!-1 < n!？
說明:
n!-1與n!互質
n!=p1^a1*p2^a2*p3^a3.....pn^an
其中p1,p2,...pn為不大於n的質數
故n!-1本身所含的質因數必異於p1,p2...pn且大於n

p|n!-1,則p < = n!-1,而n!-1 < n!