1801年,24歲的德國數學家高斯證明: Pi都是質數且n=P1 x P2 x....x Pk 時,正n邊形可以尺規作圖。 要說明這件事情,我們先觀察正n邊形有以下的特性:它的頂點都位於一個圓的圓周上,且從頂點到圓心的n條連線把中心角分為n等分,每個角為360/n 。如果能用尺規做出這樣大小的角,就能用尺規作出正n邊形。 尺規可作出最簡單的正三角形、正四邊形,我們利用不斷平分中心角的方法,就能分別作出: 正3、6、12、24、48、…邊形, 以及 正4、8、16、32、64、…邊形。 我們也能作出正五邊形,因此也可作出 正5、10、20、40、80、…邊形。 用正五邊形中心角72°的二倍減去正三角形的中心角120°可得到24°,即可作出正15邊形的中心角,於是我們也可作出正15、30、60、120、240、…邊形。 還有哪些n值可以用尺規作圖作出n邊形呢?高斯用尺規作圖作出正17邊形,當然便可作出正34、68、136、…邊形。是否有注意到3、5、17恰好是前三個費馬質數?事實上,高斯指出,只要n是費馬質數的2^k倍,都可用尺規作出正n邊形。後人在高斯出生地立了一塊刻有正17邊形的紀念碑,德國哥廷根大學也以正17邊形為基座立了一塊石碑。1832年Richelot與Schwendewein給出作正257邊形的方法,1900年左右,Hermes花費十年的奶狴峇堻W作圖作出正65537邊形,他的手稿裝滿一大皮箱,現存於哥廷根數學研究所。 用尺規作圖可以作出的奇正多邊形為3、5、17、257、65537及這五個數的乘積:3×5、3×17、3×257、3×65537、5×17、5×257、5×65537、17×257、17×65537、257×65537、3×5×17、3×5×257、…、3×5×17×257×65537,共31 種,其他的奇數正多邊形,如7、9、11、13等正多邊形是無法用尺規作圖作出的。 _________________ 孫文先 敬上
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