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      /  2005澳洲AMC初級試題第30題
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vic526tor
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-17
發表數: 86


 2005澳洲AMC初級試題第30題

一個正整數等於其四個最小正因數的平方和
問可以整除該正整數的最大質數為何


這題好難 不會算

 2008-05-21 21:50個人資料
crazytrquan
Quite a regular



註冊日: 2007-09-12
發表數: 44


 Re: 2005澳洲AMC初級試題第30題

一.利用奇偶性證明此數為2的倍數
二.利用奇偶數的平方的特性證明此數不為四的倍數
三.令此數=2*(奇合數)=2*(pq),其中p為質數且p小於q
證明p不為3且p=5
四.最後證明此數=1^2+2^2+5^2+10^2=130,大尼i成
故答案為13

 2008-05-23 12:39個人資料傳送 Email 給 crazytrquan
笑哥
Just can't stay away



註冊日: 2007-11-14
發表數: 76


 Re: 2005澳洲AMC初級試題第30題

crazytrquan提到:
令此數=2*(奇合數)=2*(pq),其中p為質數且p小於q
證明p不為3且p=5

應修正為:
1^2+2^2+p^2+q^2=5+p^2+q^2=2的倍數,故p,q必為一奇一偶

因該數已排除是4的倍數,因此p,q應分別為下一個奇質因數k與一合數2k
設該數為2km
如此,5+k^2+(2k)^2=2km
5k^2-2mk+5=0
判別式4m^2-100=4(m^2-25)必須為完全平方數
設m^2-25=n^2則m^2-n^2=25
解m+n=5,m-n=5,則m=5,n=0,代入求得k=1,不合
解m+n=25,m-n=1,則m=13,n=12,代入求得k=5
該正整數為2*5*13
因此可以整除該正整數的最大質數為13

 2008-05-23 14:07個人資料
crazytrquan
Quite a regular



註冊日: 2007-09-12
發表數: 44


 Re: 2005澳洲AMC初級試題第30題

引文:

笑哥 寫道:
設該數為2km
如此,5+k^2+(2k)^2=2km
5k^2-2mk+5=0
判別式4m^2-100=4(m^2-25)必須為完全平方數
設m^2-25=n^2則m^2-n^2=25
解m+n=5,m-n=5,則m=5,n=0,代入求得k=1,不合
解m+n=25,m-n=1,則m=13,n=12,代入求得k=5
該正整數為2*5*13
因此可以整除該正整數的最大質數為13



改為
故此數=1^2+2^2+k^2+(2k)^2=5(1+k^2)
為5的倍數
故此數=5(1+5^2)=130=2*5*13(驗合)
因此可以整除該正整數的最大質數為13
會更好

 2008-05-26 08:44個人資料傳送 Email 給 crazytrquan
tw1991x
Just popping in



註冊日: 2008-06-09
發表數: 6


 Re: 2005澳洲AMC初級試題第30題

能詳細證明此數為2的倍數,且不為4的倍數嗎?

謝謝

 2008-06-09 20:47個人資料
笑哥
Just can't stay away



註冊日: 2007-11-14
發表數: 76


 Re: 2005澳洲AMC初級試題第30題

crazytrquan提到
二.利用奇偶數的平方的特性證明此數不為四的倍數

因1^2+2^2+a^2+b^2=偶數,故a,b必為一奇一偶
令a=2m,b=2n+1
1^2+2^2+4m^2+4n^2+4n+1=4(m^2+n^2+n+1)+2
故此數不為四的倍數

 2008-06-10 05:49個人資料
tw1991x
Just popping in



註冊日: 2008-06-09
發表數: 6


 Re: 2005澳洲AMC初級試題第30題

但為何此數為2的倍數?
謝謝

 2008-06-10 06:08個人資料
笑哥
Just can't stay away



註冊日: 2007-11-14
發表數: 76


 Re: 2005澳洲AMC初級試題第30題

一.利用奇偶性證明此數為2的倍數
假設此數不為偶數,則其所有因數均為奇數
則四個最小因數之平方和必為偶數
與假設矛盾,故此數必為偶數,亦即必為2的倍數

 2008-06-10 07:31個人資料


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