Question1.設自然數n有下面性質：從1,2,......,n中任取50個不同的數，這50個數中必有兩個數之差等於7。這樣的n最大的一個是？這是我最不會的單元之ㄧ.Question2△ABC中，AB = AC = 2，BC邊有100個不同的點P1，P2，…，P100，記ｍｉ = APi2+ BPi x PiC（i = 1，2，…，100），則m1 + m2 +…+m100 = ？(APi2是APi的平方)
1.因自然數被7除的數只有7種 又50=7*7+1故由抽屜原理 從1 2.......n中任取50個不同的數必有8個數被7除的餘數相同 設於數為r(r=0 1 ...6)則這8個數必從數列 r 7+r 7*2+r .......7*k+r(r=1 2 ...6時)...(1)或 7 2*7 ...k*7 (r=0時)....(2) 中取出 為了保證取出的50個數中必有兩個數之差是7 只要從數列 (1) 或(2)中任取的8個數至少有2個是相鄰的(這兩個相鄰樹之差是7)即可 這樣2數列中至少可能有14個數 及(1)中的k至多為13或(2)中的k至多為14)從上面的分析可見 當n=7*14=98時 從1 2 ..98重任取50個不同的數必有兩數之差是7 另一方面當n大於98時 從1 2 .....98 99 .....n中取下列50個數1 2 ...7 15 16 .....21 29....3543..49 57 ...63 71...77 85...91 99可見這50格數中任兩數之差不是7故n的最大值=98
(i)設Pi是BC邊上任一點 做BC邊上的高AD設Pi在BD上則ｍｉ = APi2+ BPi x PiC=APi^2+(BD-PiD)(CD+PiD)因 BD=CD 對APiD ABD應用勾股定理 得ｍｉ = APi^2+BD^2-PiD^2=BD^2+AD^2=AB^2=4m1+m2+....m100=400(ii)利用斯台渥特定理可很快求出
