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2020 澳洲AMC數學能力檢定


2020年國際中小學數學能力檢測(IMAS)


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2020青少年數學國際城市邀請賽(IIMC 2020,印尼雅加達市))


2019年國際小學數學及自然科學奧林匹亞 (IMSO 2019,越南 Hanoi市)


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mike821130
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註冊日: 2008-05-25
發表數: 4


 國中問題

Question1.設自然數n有下面性質:從1,2,......,n中任取50個不同的數,這50個數中必有兩個數之差等於7。這樣的n最大的一個是?
這是我最不會的單元之ㄧ.
Question2△ABC中,AB = AC = 2,BC邊有100個不同的點P1,P2,…,P100,記
mi = APi2+ BPi x PiC(i = 1,2,…,100),則m1 + m2 +…+m100 = ?(APi2是APi的平方)

 2008-09-09 19:46個人資料
abc831128
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註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 國中問題

1.因自然數被7除的數只有7種 又50=7*7+1故由抽屜原理 從1 2.......n中任取50個不同的數必有8個數被7除的餘數相同 設於數為r(r=0 1 ...6)則這8個數必從數列
r 7+r 7*2+r .......7*k+r(r=1 2 ...6時)...(1)
或 7 2*7 ...k*7 (r=0時)....(2) 中取出 為了保證取出的50個數中必有兩個數之差是7 只要從數列 (1) 或(2)中任取的8個數至少有2個是相鄰的(這兩個相鄰樹之差是7)即可 這樣2數列中至少可能有14個數 及(1)
中的k至多為13或(2)中的k至多為14)從上面的分析可見 當n=7*14=98時 從1 2 ..98重任取50個不同的數
必有兩數之差是7 另一方面當n大於98時 從
1 2 .....98 99 .....n中取下列50個數
1 2 ...7 15 16 .....21 29....35
43..49 57 ...63 71...77 85...91 99
可見這50格數中任兩數之差不是7
故n的最大值=98

 2008-09-12 20:48個人資料
abc831128
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註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 國中問題

(i)設Pi是BC邊上任一點 做BC邊上的高AD
設Pi在BD上則
mi = APi2+ BPi x PiC=APi^2+(BD-PiD)(CD+PiD)
因 BD=CD 對APiD ABD應用勾股定理 得mi =
APi^2+BD^2-PiD^2=BD^2+AD^2=AB^2=4
m1+m2+....m100=400
(ii)利用斯台渥特定理可很快求出

 2008-09-12 20:59個人資料


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