發布者 | 內容列 | allextai1992 Just popping in
註冊日: 2008-08-30 發表數: 7
| 空間問題~困惑= = | | 1)空間中四平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1圍成一個四面體,試求此四面體之內切球的半徑。 2)設平面E過點P(根號2,21),其法向量與y軸,z軸正向夾角分別為60度,120度,則平面E的方程式為? 3)空間中有三點A(1,2,3),B(3,-2,1),C(-1-2,1)及一平面E,已知A在E之正射影為A'(-1,3,5)求: C到E的距離為?;線段AB在E上投影長為? 4)設平面E:x/a+x/b+x/c=1與原點的距離為d,其中a,b,c為三正數,若A(1,2,3)在平面E上,試求a,b,c之值,使d的值最大 |
| 2008-10-26 18:41 | | 笑哥 Just can't stay away
註冊日: 2007-11-14 發表數: 76
| Re: 空間問題~困惑= = | | 1. (1)設內切球球心(a,b,c),則球心至四個平面的距離等於球半徑r 因此a=b=c=|a+b+c-1|/3^1/2=r r=[3-(3)^1/2]/6或[3+(3)^1/2]/6(不合) (2)將四面體頂點與球心連線切成四個三角錐 其底面面積分別為1/2,1/2,1/2,另一為邊長(2)^1/2的正三角形,其面積為(1/2)*(3)^1/2 1/3*[1/2+1/2+1/2+(3)^1/2/2]*r=1/6 r=[3-(3)^1/2]/6
2.由上,其法向量為((2)^1/2,1,-1)或(-(2)^1/2,1,-1) 故E平面方程式為(2)^1/2x+y-z=k或(2)^1/2x-y+z=k 將p點代入得E平面方程式為(2)^1/2x+y-z=3或(2)^1/2x-y+z=1
3.由AA'得法向量,將A'代入得E平面方程式為2x-y-2z+10=0 故C到E的距離為|-2+2-2+10|/3=8/3 線段AB在E上投影長可用AB與AA'外積求得平形四邊形面積除以AA'長度 (2,-4,-2)x(-2,1,2)=(-6,0,-6) [(6^2+6^2)^1/2]/3=2*(2)^1/2
4.A代入E得1/a+2/b+3/c=1,1/a,2/b,3/c均為正數 求d=1/[1/a^2+1/b^2+1/c^2]之最大值 亦即求(1/a^2+1/b^2+1/c^2)之最小值 利用柯西不等式(1^2+2^2+3^2)(1/a^2+1/b^2+1/c^2) > = (1/a+2/b+3/c)^2 (1/a^2+1/b^2+1/c^2)之最小值為1/14,1/a:1/b:1/c=1:2:3 故a=14,b=7,c=14/3
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| 2008-10-26 21:26 | | allextai1992 Just popping in
註冊日: 2008-08-30 發表數: 7
| Re: 空間問題~困惑= = | | 第2題怎麼知道它的法向量? |
| 2008-10-28 22:58 | | 笑哥 Just can't stay away
註冊日: 2007-11-14 發表數: 76
| Re: 空間問題~困惑= = | | cos^2A+cos^2B+cos^2C=1 其中A,B,C分別是法向量與三軸的夾角 |
| 2008-10-29 06:30 | |
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