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      /  一道沒有人答對的青少年數學國際城市邀請賽試題
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發布者內容列
shinyin
Just popping in



註冊日: 2008-11-16
發表數: 1


 Re: 一道沒有人答對的青少年數學國際城市邀請賽試題

在知識家看到這題,本以為google 一下就有答案。
以下是我的分法

a + c < 2b 省略成 ac<bb
a + c = 2b 省略成 ac=bb
a + c > 2b 省略成 ac>bb

金幣排成3x3 編號如下:

123
456
789

14<25
_____25<36
__________1436<2589 ,ac<bb
__________1436=2589 ,ac=bb
__________1436>2589 ,ac>bb
_____25=36
__________56<89
_______________1489<2356 ,ac<bb
_______________1489=2356 ,ac=bb
_______________1489>2356 ,ac>bb
__________56=89
_______________147<258 ,ac<bb
_______________147=258 ,ac=bb
_______________147>258 ,ac>bb
__________56>89 impossible
_____25>36
__________14<36
_______________1245<3678 ,ac<bb
_______________1245=3678 ,ac=bb
_______________1245>3678 ,ac>bb
__________14=36
_______________25<14 ,ac<bb
_______________25=14 ,ac=bb
_______________25>14 ,ac>bb
__________14>36
_______________2356<1478 ,ac<bb
_______________2356=1478 ,ac=bb
_______________2356>1478 ,ac>bb

14=25
_____25<36
__________45<78 impossible
__________45=78
_______________369<258 ,ac<bb
_______________369=258 ,ac=bb
_______________369>258 ,ac>bb
__________45>78
_______________3678<1245 ,ac<bb
_______________3678=1245 ,ac=bb
_______________3678>1245 ,ac>bb
_____25=36
__________789<456 ,ac<bb
__________789=456 ,ac=bb
__________789>456 ,ac>bb
_____25>36
__________45<78
_______________3678<1245 ,ac<bb
_______________3678=1245 ,ac=bb
_______________3678>1245 ,ac>bb
__________45=78
_______________369<258 ,ac<bb
_______________369=258 ,ac=bb
_______________369>258 ,ac>bb
__________45>78 impossible

14>25
_____25<36
__________14<36
_______________2356<1478 ,ac<bb
_______________2356=1478 ,ac=bb
_______________2356>1478 ,ac>bb
__________14=36
_______________25<36 ,ac<bb
_______________25=36 ,ac=bb
_______________25>36 ,ac>bb
__________14>36
_______________1245<3678 ,ac<bb
_______________1245=3678 ,ac=bb
_______________1245>3678 ,ac>bb
_____25=36
__________56<89
_______________1489<2356 ,ac<bb
_______________1489=2356 ,ac=bb
_______________1489>2356 ,ac>bb
__________56=89
_______________147<258 ,ac<bb
_______________147=258 ,ac=bb
_______________147>258 ,ac>bb
__________56>89 impossible
_____25>36
__________1436<2589 ,ac<bb
__________1436=2589 ,ac=bb
__________1436>2589 ,ac>bb

 2008-11-16 02:57個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 一道沒有人答對的青少年數學國際城市邀請賽試題

由誰知道這次個人賽的填充第6題 和計算證明的第3提怎嚜算

 2008-11-16 12:42個人資料
笑哥
Just can't stay away



註冊日: 2007-11-14
發表數: 76


 Re: 一道沒有人答對的青少年數學國際城市邀請賽試題

一.圓周上有和為94 的n 個(n>3)整數,每個數都等於它後面(按順時針方向)的兩個數的差的絕對值。請問n 的可能值是什麼?
解:
設依序有a1~an等數,由題意得知,a1~an > = 0
1.設a1~a3均為正數,因|a2-a3|=a1,a2,a3必有一數大於a1,記為(a2,a3) > a1
同理(a3,a4) > a2,(a4,a5) > a3
若a2 > a3,則(a3,a4)=a4,(a4,a5) > = a4 >(a2,a3) > a1
若a2 < a3,則(a2,a3)=a3,(a4,a5) > a3 > (a2,a3) > a1
因此a1,(a2,a3),(a4,a5)....必呈一嚴格遞增數列
在圓上依上式截取兩連續數ak,ak+1時,
當n為偶數時,在第2圈時重覆出現,n為奇數時,在第3圈時重覆出現
例如:
n=5:a1,(a2,a3),(a4,a5),|(a1,a2),(a3,a4),(a5,a1),|(a2,a3),....
n=6:a1,(a2,a3),(a4,a5),(a6,a1)|,(a2,a3)......
此時應使得後出現之(a2,a3) > 先出現之(a2,a3),但明顯產生矛盾
故三連續數可能有一數為0,但當有兩個數以上為0時無解

2.若a1=0,則a2=a3,又a2=|a3-a4|,則a2=a4-a3或a2=a3-a4
(1)a4=2a2=2a3,但當a2~a4三連續數均不為0或均為正數時必無解
(2)a4=0,a3=a5,形如(o,x,x,0,x,x,.....),94=1*94=2*47,又n > 3,
故此時唯一解n=47*3=141,取0為起點依序為(0,1,1,0,1,1,............0,1,1)

二.已知t 為正整數,若2^t 可以表示成a^b ±1(其中a、b 是大於1 的整數),請找出滿足上述條件所有可能的t 值。

解:
由題意可知a必為奇數
設b為奇數,則a^b±1=a^b±1^b=(a±1)[a^(b-1)....±1]=2^m*2^n
其中[a^(b-1)....±1]共b個奇數,其總和必為奇數,因此,b必為偶數
1.2^t=a^b+1
設a^b+1=(2k+1)^2+1=2[2k(k+1)+1]=2(2p+1)
當p > 0時,無法表示成2^t,故2^t=a^b+1當b > 1時無解

2.2^t=a^b-1,設b=2k,k=1,2,3,.....
a^b-1=(a^k-1)(a^k+1),已知a^k+1=2^p當k > 1時無解,故唯一解k=1
設a+1=2^m,a-1=2^n,則2=2^m-2^n,(m,n)唯一解為(2,1),此時a=3,t=3

故唯一可能的t值為3

 2008-11-20 22:31個人資料
lochihsin
Quite a regular



註冊日: 2009-12-28
發表數: 63


 Re: 一道沒有人答對的青少年數學國際城市邀請賽試題

抱歉...
好像是我想錯了
重新思考中

 2010-02-19 22:11個人資料
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