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      /  環球城市數學競賽2008秋季賽初級卷國中組第二題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽2008秋季賽初級卷國中組第二題

2. 由1、2、3、…、50中挑選出二十五個數,從51、52、53、…、100中也挑選出二十五個數。已知所挑選出的數中任兩個數之差都不等於0或50。請問所挑選出的這五十個數之和是多少?(三分)


_________________
孫文先 敬上

 2009-01-12 10:22個人資料傳送 Email 給 孫文先
Jason+Weber
Home away from home



註冊日: 2004-03-27
發表數: 194
無間地獄

 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽初級卷國中組第二題

唔....任兩個數的差本來就不等於0了阿?

So....這條件的意思是不能重複選取囉

可以將兩組數字做這樣的編號
a1,a2,....,a50
b1,b2,....,b50
其中bn=an+50
<an>+<bn>
=(a1+a2+....+a50)+(b1+b2+....+b50)
=(a1+a2+....+a50)+(a1+a2+....+a50)+50×50
=2×(a1+a2+....+a50)+50×50----(1)

∵任兩個數的差不等於50
∴選了an就不能選bn

也就是說
把(a1,b1)(a2,b2)..(a50,b50)分成50組,
每一組只能選出一個
例如:選了a1就不會有b1
如果沒有選a2,那選b2,就能補上a2+50

又∵選出25組數字
故第(1)式總共會少掉(a1+a2+....+a50)+50×25


故總和恆為
[2×(a1+a2+....+a50)+50×50]-[(a1+a2+....+a50)+50×25]
=(a1+a2+....+a50)+50×25=2525

例如
可以選1~25和76~100總和=(100+1)×25=2525
或是
可以選1,3,5,...,49和52,54,56,...,100
總和也是=(100+1)×25=2525


_________________
我認為數學之所以迷人,在於你總是能找到美妙的解法(By Mathplayer 2007/05/11)

三角習題看不破 排列組合總難解 人生幾何可有數 手拎尺規任我學

A Mathmaniac/Mathfanatic/Mathnut

 2009-01-14 13:33個人資料拜訪網站


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