5.令 a_1, a_2, a_3, ...a_n 為正數使得
1/2>= a_1+a_2+a_3+...+a_n。試證
2>=(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)....(1+a_n).
（八分）

_________________
孫文先 敬上

因為a1^2+a2^2+....an^2不等於0
且由柯西不等式得a1^2+a2^2+....an^2小於等於1/4

構造方程式

(a1^2+a2^2+....an^2)x^2+2(1+a1)(1+a2)(1+a3)...(1+an)x+16

因為a1~an都大於0
所構造的方程必大於等於0
所以 {2(1+a1)(1+a2)(1+a3)...(1+an)}^2小於等於4乘16乘(a1^2+a2^2+....an^2)小於等於16

得(1+a1)(1+a2)(1+a3)...(1+an)小於等於2

為什麼因為a1~an都大於0
所構造的方程必大於等於0

啊 sorry我看錯了

以下給出另一種

(1+a1)(1+a2)...(1+an)=2^n{1/2+(a1)/2}...{1/2+(an)/2}

利用算幾不等式

{{{1/2+(a1)/2}+..+{1/2+(an)/2}}/n}^n大於等於{1/2+(a1)/2}...{1/2+(an)/2}

所以{1/2+(a1)/2}...{1/2+(an)/2}小於等於(2n+1)/4^n*n^n*2^n=(1+1/2n)^n小於等於3/2

最後一式應是所以(1+a1)(1+a2)...(1+an)小於等於{1/2+(a1)/2}...{1/2+(an)/2}小於等於(2n+1)/4^n*n^n*2^n=(1+1/2n)^n小於等於3/2

.......

為什麼(1+1/2n)^n小於等於3/2

因為(1+1/2n)^n成遞增

帶入 1 2 3 可看的出來

因為(1+1/2n)^n成遞增
所以(1+1/2n)^n大於等於3/2才對吧

恩 我又寫錯了= =

這堤真不好算... 我在想想

我覺得因為(1+1/n)^n當n趨向無窮大時它的值會等於e
因此(1+1/2n)^n當n趨向無窮大時它的值應該比e更小