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      /  環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第五題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第五題

5.令 a_1, a_2, a_3, ...a_n 為正數使得
1/2>= a_1+a_2+a_3+...+a_n。試證
2>=(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)....(1+a_n).
(八分)


_________________
孫文先 敬上

 2009-01-12 10:35個人資料傳送 Email 給 孫文先
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第五題

因為a1^2+a2^2+....an^2不等於0
且由柯西不等式得a1^2+a2^2+....an^2小於等於1/4

構造方程式

(a1^2+a2^2+....an^2)x^2+2(1+a1)(1+a2)(1+a3)...(1+an)x+16

因為a1~an都大於0
所構造的方程必大於等於0
所以 {2(1+a1)(1+a2)(1+a3)...(1+an)}^2小於等於4乘16乘(a1^2+a2^2+....an^2)小於等於16

得(1+a1)(1+a2)(1+a3)...(1+an)小於等於2

 2009-01-18 22:52個人資料
vic526tor
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-17
發表數: 86


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第五題

為什麼因為a1~an都大於0
所構造的方程必大於等於0

 2009-01-19 22:23個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第五題

啊 sorry我看錯了

以下給出另一種

(1+a1)(1+a2)...(1+an)=2^n{1/2+(a1)/2}...{1/2+(an)/2}

利用算幾不等式

{{{1/2+(a1)/2}+..+{1/2+(an)/2}}/n}^n大於等於{1/2+(a1)/2}...{1/2+(an)/2}

所以{1/2+(a1)/2}...{1/2+(an)/2}小於等於(2n+1)/4^n*n^n*2^n=(1+1/2n)^n小於等於3/2


 2009-01-19 22:40個人資料
abc831128
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註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第五題

最後一式應是所以(1+a1)(1+a2)...(1+an)小於等於{1/2+(a1)/2}...{1/2+(an)/2}小於等於(2n+1)/4^n*n^n*2^n=(1+1/2n)^n小於等於3/2

.......

 2009-01-19 22:46個人資料
vic526tor
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-17
發表數: 86


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第五題

為什麼(1+1/2n)^n小於等於3/2

 2009-01-20 10:24個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第五題

因為(1+1/2n)^n成遞增

帶入 1 2 3 可看的出來

 2009-01-20 12:27個人資料
vic526tor
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-17
發表數: 86


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第五題

因為(1+1/2n)^n成遞增
所以(1+1/2n)^n大於等於3/2才對吧

 2009-01-20 13:19個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第五題

恩 我又寫錯了= =

這堤真不好算... 我在想想

 2009-01-21 00:17個人資料
vic526tor
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-17
發表數: 86


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第五題

我覺得因為(1+1/n)^n當n趨向無窮大時它的值會等於e
因此(1+1/2n)^n當n趨向無窮大時它的值應該比e更小

 2009-01-21 10:19個人資料
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