6. 三角形ABC的三個邊互不相等，點E與點F在三角形ABC之外部使得∠ECA＝∠EAC＝∠FAB＝∠FBA＝θ。線段BC的中垂線與通過點A且垂直於EF的直線交於點D，請問∠BDC之值為何？（九分）

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孫文先 敬上

應分情況討論 先寫(i)
(i)E A 在BC同側
再過BC中垂線上可找到一點R 使角RBC=角RCB=θ
連FD ED
設BC=a CA=b BA=c
CD/BC=sin θ/sin2θ=sinθ/2sinθcosθ
BD=CD=a/2cosθ
a^2=a^2/2cos^2θ-(a^2/2cos^2θ)cos2θ

=a^2/2cos^2θ{1-cos2θ)=a^2/2cos^2θ{1-cos^2θ+sin^2θ)

整理得 2cos^2θ=1-cos^2θ+sin^2θ)
解出sinθ=根號2/2
θ=45或135(不合)


就不難求出角BDC了

更正前篇
前篇中的D皆改為R

SORRY 前篇是基於E A 在BC同側且角BAC大於90
(D在三角形外