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      /  環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第六題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第六題

6. 三角形ABC的三個邊互不相等,點E與點F在三角形ABC之外部使得∠ECA=∠EAC=∠FAB=∠FBA=θ。線段BC的中垂線與通過點A且垂直於EF的直線交於點D,請問∠BDC之值為何?(九分)


_________________
孫文先 敬上

 2009-01-12 10:36個人資料傳送 Email 給 孫文先
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第六題

應分情況討論 先寫(i)
(i)E A 在BC同側
再過BC中垂線上可找到一點R 使角RBC=角RCB=θ
連FD ED
設BC=a CA=b BA=c
CD/BC=sin θ/sin2θ=sinθ/2sinθcosθ
BD=CD=a/2cosθ
a^2=a^2/2cos^2θ-(a^2/2cos^2θ)cos2θ

=a^2/2cos^2θ{1-cos2θ)=a^2/2cos^2θ{1-cos^2θ+sin^2θ)

整理得 2cos^2θ=1-cos^2θ+sin^2θ)
解出sinθ=根號2/2
θ=45或135(不合)


就不難求出角BDC了



 2009-01-18 21:12個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第六題

更正前篇
前篇中的D皆改為R

 2009-01-18 21:21個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第六題

SORRY 前篇是基於E A 在BC同側且角BAC大於90
(D在三角形外

 2009-01-18 21:39個人資料


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