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      /  環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第七題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第七題

7. 在無窮數列{a_n} , a_0=0中,對於 ,若n的最大奇因數除以4餘數為1,則 a_n=a_(n-1)+1;若n的最大奇因數除以4餘數為3,則 a_n=a_(n-1)-1。此數列的首幾項為:0、1、2、1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、2、1、…。
(a) 證明在此數列中,1將出現無窮多次;(五分)
(b) 證明在此數列中,每一個正整數將出現無窮多次。(五分)


_________________
孫文先 敬上

 2009-01-12 10:39個人資料傳送 Email 給 孫文先
顏榮皇
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註冊日: 2004-03-20
發表數: 15


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第七題

環球城市數學競賽非常適合學生科展的題材,本人十分感謝九章孫先生。
這一題已經給我的孩子去思考,希望,在人生旅途中留給孩子美好的回憶。
再度謝謝九章孫先生。

 2009-01-14 21:01個人資料
顏嘉佑
Just popping in



註冊日: 2009-04-01
發表數: 14


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第七題

謝謝九章,這一題可以使用二進位法處裡。

 2009-04-01 19:43個人資料
顏嘉佑
Just popping in



註冊日: 2009-04-01
發表數: 14


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第七題

這個題目被我引用來當做今年的台北縣科學展覽主題,報名到昨天才結束。今天,上網提出我的一些挫折和二進位法發現的理由。
.
一些定義
定義數列{dp(n)}:
設無窮數列{dp(n)},dp(0)=0,n、k和q是自然數, p為質數,n=p^(k-1)×q, q和p互質。
若q除以p^後餘數小於((p^2)+1)/2,dp(n)=dp(n-1)+1;若q除以p2後餘數大於或等於((p^2)+1)/2則dp(n)=dp(n-1)-1。
很顯然,當質數p=2時,數列{a(n)}就是{d2(n)}。
.
ABCD法式我原先所創造的一種方法。理由是每逢a((2^k)-1)=1,因此,以4個一組的切法。雖然,最後無法被用來證明「{a(n)}會出現無窮多個正整數」,但是,今年(2009年)1月2日,數學網站公佈此一題目後,今年花了整個寒假利用ABCD法發現{a(n)}的一些性質。
定義「ABCD」法:
A的Y2(n)組合:(1、1、1、3),經整組運算後增減+2,出現最高數字:第3個數
B的Y2(n)組合:(1、1、3、3),經整組運算後增減0,出現最高數字:第2個數。
C的Y2(n)組合:(3、1、1、3),經整組運算後增減+2,出現最高數字:第3個數。
D的Y2(n)組合:(3、1、3、3),經整組運算後增減-2,出現最高數字:第1個數。
.
寒假,一直以「ABCD 法」思考數列{a(n)}以便尋找第k區間a(n)=k,雖然失敗,但卻也幫忙我對數列{a(n)}的認識。
發現二進位法的主要來源是「ABCD 法」是以*1*3的型式出現。
最重要的是老師們的提醒幫忙我很多,在此說一聲謝謝。


 2009-04-02 17:54個人資料
顏嘉佑
Just popping in



註冊日: 2009-04-01
發表數: 14


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷國中組第七題

引文:

顏嘉佑 寫道:
謝謝九章,這一題可以使用二進位法處裡。



感謝所有教過我的老師。
.
如果把十進位的n以二進位法表示,就可以很快找到由n變成a(n)值的方法,先看直觀觀察,再觀看二進位轉換法法的猜測規則。
1 =(1)2、3 =(11)2、7 =(111)2,對於十進位1、3、7,都是a(n)=1
2 =(10)2、4 =(100)2、6 =(110)2、8 =(1000)2,對於十進位2、4、6、8,都是a(n)=2,
5 =(101)2、9 =(1001)2,對於十進位5、9都是a(n)=3,
10=(1010)2,對於十進位10都是a(n)=4,
規則一:猜測連續出現111…111時,a(n)值都不會增加。
規則二:連續出現000…000時,a(n)值都不會增加。
規則三:增加1個10型,a(n)值會增加1。
規則四:增加1個01型,a(n)值會增加1。
規則五:減少1個10型,a(n)值會減少1。
規則六:減少1個01型,a(n)值會減少1。
規則七:由直觀觀察, a(n)值都發現少1個1,每個二進位法之前,再加1個0,最後計算01型的數目和10型的數目總和就成為a(n)值。

根據上面猜測規則舉例:如n=10=(1010)2,也就是十進位的10變成二進位的(1010)2。在1010前加1個0,使得(1010)2變成01010,再計算01010中,由右向左出現01有2次及10各有2次,總計01型式和10型式次數有4次。那麼a(10)=4。


再度感謝老師,若我的科展作品「奇妙的數列」在五月九日舉行的臺北縣賽能得到肯定,完全要感謝所有的老師。

 2009-05-01 06:40個人資料


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