7. 在無窮數列{a_n} ， a_0=0中，對於 ，若n的最大奇因數除以4餘數為1，則 a_n=a_(n-1)+1；若n的最大奇因數除以4餘數為3，則 a_n=a_(n-1)-1。此數列的首幾項為：0、1、2、1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、2、1、…。
(a) 證明在此數列中，1將出現無窮多次；（五分）
(b) 證明在此數列中，每一個正整數將出現無窮多次。（五分）

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孫文先 敬上

環球城市數學競賽非常適合學生科展的題材，本人十分感謝九章孫先生。
這一題已經給我的孩子去思考，希望，在人生旅途中留給孩子美好的回憶。
再度謝謝九章孫先生。

謝謝九章，這一題可以使用二進位法處裡。

這個題目被我引用來當做今年的台北縣科學展覽主題，報名到昨天才結束。今天，上網提出我的一些挫折和二進位法發現的理由。
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一些定義
定義數列{dp(n)}：
設無窮數列{dp(n)}，dp(0)=0，n、k和q是自然數， p為質數，n=p^(k-1)×q， q和p互質。
若q除以p^後餘數小於((p^2)+1)/2，dp(n)=dp(n-1)+1；若q除以p2後餘數大於或等於((p^2)+1)/2則dp(n)=dp(n-1)-1。
很顯然，當質數p=2時，數列{a(n)}就是{d2(n)}。
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ABCD法式我原先所創造的一種方法。理由是每逢a((2^k)-1)=1，因此，以4個一組的切法。雖然，最後無法被用來證明「{a(n)}會出現無窮多個正整數」，但是，今年（2009年）1月2日，數學網站公佈此一題目後，今年花了整個寒假利用ABCD法發現{a(n)}的一些性質。
定義「ABCD」法：
A的Y2（n）組合：（1、1、1、3），經整組運算後增減＋2，出現最高數字：第3個數
B的Y2（n）組合：（1、1、3、3），經整組運算後增減0，出現最高數字：第2個數。
C的Y2（n）組合：（3、1、1、3），經整組運算後增減＋2，出現最高數字：第3個數。
D的Y2（n）組合：（3、1、3、3），經整組運算後增減-2，出現最高數字：第1個數。
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寒假，一直以「ABCD 法」思考數列{a（n）}以便尋找第k區間a(n)=k，雖然失敗，但卻也幫忙我對數列{a(n)}的認識。
發現二進位法的主要來源是「ABCD 法」是以*1*3的型式出現。
最重要的是老師們的提醒幫忙我很多，在此說一聲謝謝。