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      /  環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第三題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第三題

3. 在一個雙人對局遊戲中,最初有n>2堆石子,每堆都恰好有一顆石子。兩人輪流進行以下操作:任選石子數量互質的二堆,將它們合併為一堆,無法依上述規則再繼續操作者為輸方。對於任意n>2,無論對手如何應對,請問玩家有無必勝的策略?(六分)


_________________
孫文先 敬上

 2009-01-12 11:00個人資料傳送 Email 給 孫文先
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第三題

後者有必勝方法
社共有m堆當m為偶數堆時

(i)當初全為11111111.....1共偶數個
先手者只能合併為21111111111奇數個1
後者2211111111偶數個1
當2人如此下去 先手 後者永遠一直加1 則後者最能使全部變為2
後者贏
若有奇數個先者後者永遠把1變2後者亦有必勝法
(ii)先手第一步21111111111...1
若先者永遠的只把1變2 那是情況1
此時後者可把何數都加1
先令前m-1個(奇數) 都是1 第m個是2

此時若要使每個數經過+1後最後相等
必須有等式m+am-1=b (a b是自然數 此式是指經過b次加1個球 使的前(m-1)個1加了a+1個 第m個2加a個
m是偶數 所以b為奇數 後者勝

當m為奇數時
則1+1+1.....1=m(奇數)
所以只能分成奇數堆 所以a是奇數

此時b為奇數 後者勝

故後者有必勝策略





 2009-02-06 22:01個人資料


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