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      /  環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第七題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第七題

7. 某項測驗有30道是非題。小文對於試題內容完全不懂,但他可以對相同的試卷作答多次,每次每一題他都必須作答,每份試卷作完後他都會被告知答對的題數。請問當他
(a) 共作答30次;(五分)
(b) 共作答25次,(五分)
他有什麼方法保證最後一次作答可以將這30道題完全答對?


_________________
孫文先 敬上

 2009-01-12 11:09個人資料傳送 Email 給 孫文先
笑哥
Just can't stay away



註冊日: 2007-11-14
發表數: 76


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第七題

是o非x,第1次全猜o,得知答案為o者有幾題
以下30題兩題一組分15組,預定每次依序鎖定一組猜xx,其餘固定oo,
與第1次所得結果相比,依據其答對總題數變化來判斷正確答案
若兩題正確答案依序為oo,ox,xo,xx,
則原以oo所猜對題數(2,1,1,o)此時改猜xx所對題數變成(o,1,1,2),
因其餘各組與第一次同,故總猜對題數因而變化為(-2,0,0,+2)

1.若對的題數少兩題,表示正解為oo,對的題數若增加兩題,表示正解為xx

2.若對的題數不變,表示正解原為ox或xo,下一次擇其一而猜時
,不是兩題全對就是兩題全錯,即可確定正確答案.

3.由上得知兩題一組,至多猜兩次可確定正確答案

4.若有連續兩組分別由(xx,oo)和(xo,ox)各擇其一所組成,則兩組共三次即可確定

5.若每組猜第一次得知正解可能為ox或xo,亦可用下述方法每次與第1次3o題全猜o的結果相比

方法:與下一組合併,第二次猜xoxx,第三次視第二次出現情形猜xxxx或oxxo

(i)
猜第二次時與下一組合併同時猜xoxx
如正確為oxoo,oxox,oxxo,oxxx,猜對題數由(3,2,2,1)變成(o,1,1,2),總變化-3,-1,-1,+1
如正確為xooo,xoox,xoxo,xoxx,猜對題數由(3,2,2,1)變成(2,3,3,4),總變化-1,+1,+1,-3

(ii)
如第二次總變化為-3,則可能為oxoo或xoxx,此時第三次改猜xxxx,
與原oooo時猜對題數3,1相比,此時分別對1,3,由總變化看來即可區分

(iii)
如第二次總變化為-1,則可能為oxox,oxxo,xooo,第三次猜oxxo,
與原oooo時猜對題數(2,2,3)相比,分別對(2,4,1),由總變化看來即可區分

(iv)
如第二次總變化為+1,則可能為oxxx,xoox,xoxo,第三次猜oxxo,
與原oooo時猜對題數(1,2,2)相比,分別對(3,0,2),由總變化看來即可區分

6.
無論如何,兩組四題至多用三次即可判出正確答案
前十四組28題共用3*7=21次,
最後一組由前面的結果扣除答對題數可判定為oo,(ox或xo),xx,至多一次即可確定
如此至多共用1+21+1=23次確定全部答案,在第24次時即可全數正確作答

 2009-01-14 01:39個人資料
PeterJiang
Just can't stay away



註冊日: 2004-02-19
發表數: 87


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第七題

我覺得您的答案有問題,在(iii),您並不知道「與原oooo時猜對題數」,只知道30題共有幾題是對的。

 2009-01-14 22:11個人資料
笑哥
Just can't stay away



註冊日: 2007-11-14
發表數: 76


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第七題

若正解為oxox,oxxo,xooo,則二次分別以xoxx和oxxo和首次oooo相比
猜對題數總變化量分別為(-1,0),(-1,2),(-1,-2)
用來區別的是比較出來的變化量

 2009-01-14 23:19個人資料
PeterJiang
Just can't stay away



註冊日: 2004-02-19
發表數: 87


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第七題

謝謝,我懂了。

 2009-01-15 08:35個人資料
PeterJiang
Just can't stay away



註冊日: 2004-02-19
發表數: 87


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第七題

我發現一種方法,只要22次。

1.全部猜O,可知有幾題是對的。
2.六題一組,第一組第一次猜XXOOOO,其他都是O。
3.若猜對題數-2,則前兩題是OO,若猜對題數+2,則前兩題是XX。之後4題可在3次做出來(用笑哥的方法)。
4.若猜對題數不變,則前兩題可能是OX或XO。
5.第二次猜OXXXOO,並和全部猜O做比較,會有以下情況:
(1)若猜對題數+3,則前四題是OXXX,之後2題可在2次做出來。
(2)若猜對題數-3,則前四題是XOOO,之後2題可在2次做出來。
(3)若猜對題數+1,則前四題可能是OXOX、OXXO、XOXX。
(4)若猜對題數-1,則前四題可能是XOXO、XOOX、OXOO。
(5)在這(3)(4)是等價的,只需討論其中一種情況。
6.若第二次猜猜對題數+1,則第三次猜OXXOXO,並和全部猜O做比較,會有以下情況:
(1)若猜對題數+3,則前五題是OXXOX,最後1題可在1次做出來。
(2)若猜對題數-3,則前五題是XOOOO,最後1題可在1次做出來。
(3)若猜對題數+1,則前五題可能是OXXOO、OXOXX。
(4)若猜對題數-1,則前五題可能是OXOXO、XOOOX。
7.若第三次猜猜對題數+1,則第四次猜OXOXXX,並和全部猜O做比較,會有以下情況:
(1)若猜對題數+4,則這6題是OXOXXX。
(2)若猜對題數+2,則這6題是OXOXXO。
(3)若猜對題數+0,則這6題是OXXOOX。
(4)若猜對題數-2,則這6題是OXXOOO。
8.若第三次猜猜對題數-1,則第四次猜OXOXOX,並和全部猜O做比較,會有以下情況:
(1)若猜對題數+3,則這6題是OXOXOX。
(2)若猜對題數+1,則這6題是OXOXOO。
(3)若猜對題數-1,則這6題是XOOOXX。
(4)若猜對題數-3,則這6題是XOOOXO。
9.所以6題只要4次就可以判斷出來,只要1+5*4=21次就可以全部判斷出來,第22次就可以全部答對。

 2009-01-15 09:30個人資料
笑哥
Just can't stay away



註冊日: 2007-11-14
發表數: 76


 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第七題

很高興你能了解我的做法,但我要強調一下,這一題有很多的解法可以嘗試,創造性的思考很重要,對於一個新的問題或已經被解決的問題,脫離固有的思維去展現創意,才有可能更深入或另外發展到新的領域.

 2009-05-02 10:38個人資料


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