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2019 澳洲AMC數學能力檢定


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2019年國際小學數學及自然科學奧林匹亞 (IMSO 2019,越南 Hanoi市)


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      /  分數分拆
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發布者內容列
bobson860412
Just popping in



註冊日: 2009-07-20
發表數: 19
美食街

 分數分拆

將1拆為若干個單位分數(單位分數=1/X)
使得每個單位分數的分母都是奇數
至少要拆成多少個單位分數


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

 2009-08-15 19:51個人資料
joey
Home away from home



註冊日: 2006-09-15
發表數: 257
nowhere

 Re: 分數分拆

這些單位分數是不是要不同?
還有,1=1/1應該不接受吧(路人:你在廢話啥)
因為本人暴力算了幾次後,發現即使取最大的1/3+1/5+1/7+...
也無法超過1
我就猜想是不是無法辦到。
但是我發現1/3>1/4,1/5>1/6,...
即1/3+1/5+....+1/(2n-1)>1/4+1/6+....+1/(2n)=(1/2)(1/2+1/3+....+1/n)
當n越來越大時,右式總有一天會超過1(調和級數=1+1/2+1/3+....)
所以左式也總是會超過1的,
應該還是有可能辦到題目的要求


_________________
我們究竟來自何方,我們為何如此,又將前往何處?

 2009-08-16 22:46個人資料傳送 Email 給 joey
joey
Home away from home



註冊日: 2006-09-15
發表數: 257
nowhere

 Re: 分數分拆

經過1/3+1/5+...的連加後,終於在第7項(1/3+1/5+...+1/15)超過了1,可喜可賀(路人:還沒解決咧!你這樣就溜了...)


_________________
我們究竟來自何方,我們為何如此,又將前往何處?

 2009-08-16 22:57個人資料傳送 Email 給 joey
b8412061
Just popping in



註冊日: 2009-07-31
發表數: 13


 Re: 分數分拆

我給一組解(11個)
1/3+1/5+1/7+1/9+1/15+1/21+1/25+1/63+1/189+1/4725=1
還有不可能是偶數個,所以想要減少的話就挑戰9個吧。

 2009-08-18 22:03個人資料
galois5
Just can't stay away



註冊日: 2003-11-08
發表數: 86


 Re: 分數分拆

引文:

b8412061 寫道:
我給一組解(11個)
1/3+1/5+1/7+1/9+1/15+1/21+1/25+1/63+1/189+1/4725=1
還有不可能是偶數個,所以想要減少的話就挑戰9個吧。



嗯∼不錯喔!

可惜少了一項 1/27 ...

 2009-08-19 09:10個人資料
crazytrquan
Quite a regular



註冊日: 2007-09-12
發表數: 44


 Re: 分數分拆

我也來一下(9個):
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/135+1/10395

 2009-08-19 10:55個人資料傳送 Email 給 crazytrquan
b8412061
Just popping in



註冊日: 2009-07-31
發表數: 13


 Re: 分數分拆

9個是最少的
我已經證明出來了
可是我懶得打

 2009-08-19 23:21個人資料
bobson860412
Just popping in



註冊日: 2009-07-20
發表數: 19
美食街

 分數分拆2

將1拆為若干個單位分數(單位分數=1/X)
使得每個單位分數的分母都是「奇和數」
至少要拆成多少個單位分數

我只是問問
解不出來請不要精神崩潰


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

 2009-08-20 08:39個人資料
myfund168
Just can't stay away



註冊日: 2009-05-18
發表數: 148


 Re: 分數分拆

引文:

crazytrquan 寫道:
我也來一下(9個):
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/135+1/10395



請問這是如何推算出來的?

 2009-08-20 21:50個人資料
b8412061
Just popping in



註冊日: 2009-07-31
發表數: 13


 Re: 分數分拆

關於「你如何推算出來的」
這個我的方法是隨便把一些奇數乘起來
不要太小(否則找不到答案)
也不要太大(會把自己搞瘋)
基本上建議3和5和7是必備
之後把這個數的所有因數列出來
然後找一些因數,讓他們加起來等於那個數字就可以了。
之後把這些因數全部除以那個數字,就可以得到一堆單位分數,分母一定都是奇數而且加起來等於1。
證明的部分:9個是最少的!
首先證明不可能是偶數個
用我剛才的方法可以證明
因為將一堆奇數乘起來一定是奇數
然後他的因數也一定是奇數
所以一定要有奇數個奇數才會加起來等於奇數
至於如果你分母用偶數的話
因為結果必須是奇數
所以分子和分母一定可以約成奇數
之後就還原成直接用奇數的樣子了
然後要證明7個不行
先假設7個可以
用計算機按按看就知道一定要有1/3和1/5和1/7和1/9和1/11
之後得到的數字用1/13以下去試
試到1/21不行就可以結束了

 2009-08-21 23:35個人資料
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