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      /  二次方和三次方合公式的導法
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s890583
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註冊日: 2008-12-19
發表數: 1


 二次方和三次方合公式的導法

想請問一下二次方合公式和三次方合公式的導法!!
二次方合公式是N(N+1)(N+2)/6
三次方合公式是N^2(N+1)^2/4
可以導給我看嗎?
不要像數學課本那樣用歸納法喔!!
謝謝~~

 2009-08-23 21:42個人資料
joey
Home away from home



註冊日: 2006-09-15
發表數: 257
nowhere

 Re: 二次方和三次方合公式的導法

有一個漂亮的方法:
運用公式:1+2+...+N=N(N+1)/2;(A+B)^3=A^3+3A^2 B+3AB^2+B^3

令1^2+2^2+3^2+..;+N^2=S
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
3^3=2^3+3*2^2+3*2+1
4^3=3^3+3*3^2+3*3+1
直到
(N+1)^3=N^3+3*N^2+3*N+1
全部加起來得到
2^3+3^3+,,,+N^3+(N+1)^3
=(1^3+2^3+3^3+...+N^3)+3S+3(1+2+3+...+N)+N
即3S=(N+1)^3-3*N(N+1)/2-N-1
6S=2N^3+3N^2+N=N(N+1)(2N+1)
S=N(N+1)(2N+1)/6

三次方和公式可用類似方式
運用公式:
1+2+3+...+N=N(N+1)/2
1^2+2^2+3^2+...+N^2=N(N+1)(2N+1)/6
(A+B)^4=A^4+4*A^3 B+6A^2 B^2+4AB^3+B^4

之後還可以推出四次方和、五次方和、...、M次方和等

到四次方和為止,似乎也有圖示的證明方式,希望有找到的人能夠分享一下


_________________
我們究竟來自何方,我們為何如此,又將前往何處?

 2009-08-23 22:03個人資料傳送 Email 給 joey
celine.yang06
Quite a regular



註冊日: 2007-08-28
發表數: 44


 Re: 二次方和三次方合公式的導法

k

 2011-02-22 20:49個人資料
wade1537
Just can't stay away



註冊日: 2010-01-20
發表數: 84


 Re: 二次方和三次方合公式的導法

http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=1956&extra=page%3D1
這篇可以參考一下。


我覺得用數學歸納法也挺快的!但似乎是用來證明而無法無中生有。


_________________
我不是數學高手,但我對數學有濃厚的興趣,

若想法錯誤,還請高手見諒並指點之。

 2011-02-22 21:23個人資料
d22538366
Home away from home



註冊日: 2010-12-25
發表數: 176


 Re: 二次方和三次方合公式的導法

引文:

wade1537 寫道:
http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=1956&extra=page%3D1
這篇可以參考一下。


我覺得用數學歸納法也挺快的!但似乎是用來證明而無法無中生有。


網址內的方式都不錯
應該是發表者自己整理的
這問題解法不知到底有幾種了
太多了..........

 2011-02-23 00:28個人資料傳送 Email 給 d22538366
celine.yang06
Quite a regular



註冊日: 2007-08-28
發表數: 44


 Re: 二次方和三次方合公式的導法

引文:
http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=1956&extra=page%3D1 這篇可以參考一下。 我覺得用數學歸納法也挺快的!但似乎是用來證明而無法無中生有。


這邊有一個類似數學歸納法的方法
不過可以直接算出公式
不用從下往上一個一個算
例如求五次方和
可令公式為f(n)=an^6+bn^5+cn^4+dn^3+en^2+fn+g(不過為什麼最高次數是6)
則f(n+1)-f(n)=(n+1)^5
將此式化簡得方程組如下:
6a=1
15a+5b=5
20a+10b+4c=10
15a+10b+6c+3d=10
6a+5b+4c+3d+2c=5
a+b+c+d+e+f=1
得a=1/6,b=1/2,c=5/12,d=0,e=-1/12,f=0,g=0
用此法也可得知k次方和的
第一項係數為1/(k+1)
第二項係數為1/2
第三項係數為k/12
第四項係數為0
第五項係數為-k(k-1)(k-2)/720
第六項係數為0

 2011-02-24 19:44個人資料
d22538366
Home away from home



註冊日: 2010-12-25
發表數: 176


 Re: 二次方和三次方合公式的導法

引文:

celine.yang06 寫道:
引文:
http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=1956&extra=page%3D1 這篇可以參考一下。 我覺得用數學歸納法也挺快的!但似乎是用來證明而無法無中生有。


這邊有一個類似數學歸納法的方法
不過可以直接算出公式
不用從下往上一個一個算
例如求五次方和
可令公式為f(n)=an^6+bn^5+cn^4+dn^3+en^2+fn+g(不過為什麼最高次數是6)
則f(n+1)-f(n)=(n+1)^5
將此式化簡得方程組如下:
6a=1
15a+5b=5
20a+10b+4c=10
15a+10b+6c+3d=10
6a+5b+4c+3d+2c=5
a+b+c+d+e+f=1
得a=1/6,b=1/2,c=5/12,d=0,e=-1/12,f=0,g=0
用此法也可得知k次方和的
第一項係數為1/(k+1)
第二項係數為1/2
第三項係數為k/12
第四項係數為0
第五項係數為-k(k-1)(k-2)/720
第六項係數為0


這叫做待定係數法

 2011-02-24 19:49個人資料傳送 Email 給 d22538366
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 二次方和三次方合公式的導法

引文:

celine.yang06 寫道:
引文:
http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=1956&extra=page%3D1 這篇可以參考一下。 我覺得用數學歸納法也挺快的!但似乎是用來證明而無法無中生有。


這邊有一個類似數學歸納法的方法
不過可以直接算出公式
不用從下往上一個一個算
例如求五次方和
可令公式為f(n)=an^6+bn^5+cn^4+dn^3+en^2+fn+g(不過為什麼最高次數是6)
則f(n+1)-f(n)=(n+1)^5
將此式化簡得方程組如下:
6a=1
15a+5b=5
20a+10b+4c=10
15a+10b+6c+3d=10
6a+5b+4c+3d+2c=5
a+b+c+d+e+f=1
得a=1/6,b=1/2,c=5/12,d=0,e=-1/12,f=0,g=0
用此法也可得知k次方和的
第一項係數為1/(k+1)
第二項係數為1/2
第三項係數為k/12
第四項係數為0
第五項係數為-k(k-1)(k-2)/720
第六項係數為0


看不出如何化簡


_________________
去吧!神奇數學球!
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字塔
也應該
要有進步
的這一天吧
今天我就讓他
徹徹底底進化吧
二零一二零九二九
二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2011-07-26 20:07個人資料


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