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   /  國中
      /  看似無解的題目...
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發布者內容列
a3090016
Just popping in



註冊日: 2008-08-29
發表數: 14


 看似無解的題目...

題目:
A+B+C=1
A^2+B^2+C^2=2
A^3+B^3+C^3=3
求:A=?
B=?
C=?


_________________
為誰而戰 為何而戰
為數學~!為數學~!

 2009-10-07 20:51個人資料拜訪網站
justpoppingin
Just can't stay away



註冊日: 2009-08-19
發表數: 126
某平行宇宙,銀河系,太陽系,類地行星,地球,歐亞非大陸,歐亞板塊,亞洲,東亞,花彩列島,台灣 的某個角落

 Re: 看似無解的題目...

真的有解嗎?我非常好奇:
把前面兩式加起來得↓
Ax(A+1)+Bx(B+1)+Cx(C+1)=3=AxAxA+BxBxB+CxCxC
就A來看,A+1=AxA,B和C也一樣。
根號(A+1)=A,根號(B+1)=B,根號(C+1)=C。
A、B、C的解要嘛求到虛數,要嘛求到無理數。如果三個都是無理數,那A=B=C(因為勢必同解)。所以A、B、C都只能是1/3,但1/3+1不等於(1/3)^2,所以無解。而虛數也無法求得正解,所以我個人認為無解。

 2009-10-07 21:10個人資料拜訪網站
joey
Home away from home



註冊日: 2006-09-15
發表數: 257
nowhere

 Re: 看似無解的題目...

為什麼
Ax(A+1)+Bx(B+1)+Cx(C+1)
=3=AxAxA+BxBxB+CxCxC
就一定要 A(A+1)=A^3 , B(B+1)=B^3 , C(C+1)=C^3 呢?
不對吧


_________________
我們究竟來自何方,我們為何如此,又將前往何處?

 2009-10-07 21:28個人資料傳送 Email 給 joey
justpoppingin
Just can't stay away



註冊日: 2009-08-19
發表數: 126
某平行宇宙,銀河系,太陽系,類地行星,地球,歐亞非大陸,歐亞板塊,亞洲,東亞,花彩列島,台灣 的某個角落

 Re: 看似無解的題目...

引文:

joey 寫道:
為什麼
Ax(A+1)+Bx(B+1)+Cx(C+1)
=3=AxAxA+BxBxB+CxCxC
就一定要 A(A+1)=A^3 , B(B+1)=B^3 , C(C+1)=C^3 呢?
不對吧


對ㄝ,但也很難求啊!

 2009-10-07 21:34個人資料拜訪網站
joey
Home away from home



註冊日: 2006-09-15
發表數: 257
nowhere

 Re: 看似無解的題目...

這一題沒有整數解,很容易可以知道

假設有整數解
從第二式可以知道A,B,C中一個是0,另外兩個分別都是1,-1中的一個,不可能滿足第一式。


_________________
我們究竟來自何方,我們為何如此,又將前往何處?

 2009-10-07 21:42個人資料傳送 Email 給 joey
wwtn2003118
Just popping in



註冊日: 2009-10-07
發表數: 6
CHINA

 Re: 看似無解的題目...

这里的a,b,c,不是实数,而是所谓的“虚数”.
a+b+c=1,........[1]
1=(a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
所以ab+ac+bc=-1/2 ......[2]
(此时a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2 =-1/12,因此这里的a,b,c,不是实数)
1=(a+b+c)^3 =a^3+b^3+c^3+3(ab+ac+bc)(a+b+c)-3abc
所以abc=1/6 ............[3]
由3个式子,设a,b,c为虚数的形式,应该就可以求得答案了.其中两个应该是共厄的.

 2009-10-07 22:03個人資料加入聯絡清單
myfund168
Just can't stay away



註冊日: 2009-05-18
發表數: 148


 Re: 這樣的題目,哎!要說什麼?不要說是國中,連高中生都要搖頭!

一個實數,兩個虛數;解答如下!


看一看,笑一笑就好;沒有化簡。 說明白些:
1. 看這樣的答案,就知道,計算多繁雜;如果不是太閒,那就甭算了。
2. 計算很繁雜,但不是無解。
3. 一個實數,兩個虛數; 不完全是虛數。
4. 如果不會直接驗算,可以化成小數約略值,驗算看看,但虛數部份要分開。

...2010.2.20 更改答案,我想大概沒人看吧!錯了4個多月竟沒人發現。

 2009-10-08 17:44個人資料
joey
Home away from home



註冊日: 2006-09-15
發表數: 257
nowhere

 Re: 看似無解的題目...

引文:

wwtn2003118 寫道:
这里的a,b,c,不是实数,而是所谓的“虚数”.
a+b+c=1,........[1]
1=(a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
所以ab+ac+bc=-1/2 ......[2]
(此时a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2 =-1/12,因此这里的a,b,c,不是实数)
1=(a+b+c)^3 =a^3+b^3+c^3+3(ab+ac+bc)(a+b+c)-3abc
所以abc=1/6 ............[3]
由3个式子,设a,b,c为虚数的形式,应该就可以求得答案了.其中两个应该是共厄的.



從2式怎麼得出括弧中的結論...一時無法理解...


_________________
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 2009-10-08 19:29個人資料傳送 Email 給 joey
wwtn2003118
Just popping in



註冊日: 2009-10-07
發表數: 6
CHINA

 Re: 看似無解的題目...

不好意思,应该综合(1)(2)式得到的,嘿嘿写错了:
(ab+ac+bc)^2=a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2+2abc(a+b+c)
可得a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2= (-1/2)^2-1/3= -1/12

引文:

joey 寫道:
引文:

wwtn2003118 寫道:
这里的a,b,c,不是实数,而是所谓的“虚数”.
a+b+c=1,........[1]
1=(a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
所以ab+ac+bc=-1/2 ......[2]
(此时a^2*b^2+a^2*c^2+b^2*c^2 =-1/12,因此这里的a,b,c,不是实数)
1=(a+b+c)^3 =a^3+b^3+c^3+3(ab+ac+bc)(a+b+c)-3abc
所以abc=1/6 ............[3]
由3个式子,设a,b,c为虚数的形式,应该就可以求得答案了.其中两个应该是共厄的.



從2式怎麼得出括弧中的結論...一時無法理解...

 2009-10-09 13:11個人資料加入聯絡清單
myfund168
Just can't stay away



註冊日: 2009-05-18
發表數: 148


 Re: 再畫個圖說明!

a+b+c=1
ab+ac+bc=-1/2
abc=1/6
==> x^3-x^2-1/2*X-1/6=0 三個解便是 a,b,c
原因: (x-a)(x-b)(x-c)=0


令f(x)=x^3-x^2-1/2*X-1/6 圖形如下,圖形與x軸只有一個交點,所以一個實數解。


另外兩個虛數解,可能要畫四維圖形,可惜我連三維都還沒想到如何畫!

 2009-10-11 00:14個人資料
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