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      /  2009AITMO只有三人答對的個人賽試題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 2009AITMO只有三人答對的個人賽試題

11. 我們可以將2009表示為幾個不同的正整數之和,且每個正整數都是由同一個數碼構成且至少是兩位數,例如:2009=1111+777+88+33。若將9002用此方式表示,則至少需要用多少個整數?


_________________
孫文先 敬上

 2009-12-04 20:44個人資料傳送 Email 給 孫文先
colfulus
Not too shy to talk



註冊日: 2008-08-29
發表數: 27


 Re: 2009AITMO只有三人答對的個人賽試題

10個
例如9*999 + 11

可用的數都是形如aa, aaa, aaaa的數
考慮mod 100
aa == aaa == aaaa == 11*a (mod 100)
11^-1 == 91 mod 100
11*(a的和) == 9002 mod 100
(a的和) == 2 * 91 == 82 mod 100
而82 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 1
每個數的a最大是9
所以至少10個數

 2009-12-04 22:41個人資料
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 2009AITMO只有三人答對的個人賽試題

每一項都要求不相同


_________________
孫文先 敬上

 2009-12-05 08:00個人資料傳送 Email 給 孫文先
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 2009AITMO只有三人答對的個人賽試題

我也是寫10
老實說有寫的都是寫10


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2009-12-05 18:07個人資料
sunnyfat
Quite a regular



註冊日: 2009-08-23
發表數: 45
台北縣

 Re: 2009AITMO只有三人答對的個人賽試題

我好不容易算出來的,答案是14嗎?請孫老師指教。
9002=4444+222+555+666+777+888+
999+22+44+55+66+77+88+99(共14個)

斷手的品宏


_________________
手斷掉的感覺......

 2009-12-05 21:30個人資料
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 2009AITMO只有三人答對的個人賽試題

要證明為什麼不能再少。


_________________
孫文先 敬上

 2009-12-06 14:30個人資料傳送 Email 給 孫文先
davidlin
Just popping in



註冊日: 2008-03-10
發表數: 20


 Re: 2009AITMO只有三人答對的個人賽試題

由於11111>9002,所以只能用連續4、3、2個相同數字。
又因 11∣1111×k,11∣11×k,只有111不被11整除。
因數字全不同,所以11、22、…、99最大和為495,
因數字全不同,所以111、222、…、999最大和為4995,
因9002≡4(mod11),111≡1(mod11),
所以至少為444,每次多加要1221,所以最大為4107。

當使用8888時:剩114<444(×)
當使用7777時:剩1225<1665,1225-444>495(×)
當使用6666時:剩2336<2886,2336-1665>495(×)
當使用5555時:剩3447<4107,3447-2886>495(×)
當使用4444時:剩4558,4558-4107<495,
4107÷111=37=9+8+7+6+5+2為最好值。
451÷11=41=9+8+7+6+5+4+2為最好值。
用4444、999、888、777、666、555、222、99、88、77、66、55、44、22 即可
當使用3333、2222、1111時:剩5669以上,減4107>495(×)

所以至少用14個。

 2009-12-06 21:19個人資料
lochihsin
Quite a regular



註冊日: 2009-12-28
發表數: 63


 Re: 2009AITMO只有三人答對的個人賽試題

1111=101x11
設9002=11a+111b
(a,b)之正整數解有(778,4),(667,15),(556,26),(445,37),(334,48),(223,59),(112,70),(1,81)
其中(334,48),(223,59),(112,70),(1,81)都不符合因為
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(題目給條件相異)
一(778,4) 778=707+71 (x)
二(667,15) 667=606+61 (x)
三(556,26) 556=505+51 (x)
四(445,37) 445=404+41=404+9+8+7+6+5+4+2
37=9+8+7+6+5+2
9002=4444+99+88+77+66+55+44+22+999+888+777+666+555+222

 2010-02-19 21:52個人資料


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