1. 我們只知道某個保險箱的密碼是一組兩兩互不相同的七個數碼。當輸入七個不同的數碼後，若其中至少有一個位置的數碼與保險箱的對應密碼相吻合，則可開啟此保險箱。請問是否能用少於七次的嘗試，就保證可以打開它？
（四分）

2. 空間中有A、B、C、D、E、F六個點。已知AB//DE、BC//EF、CD//FA，但AB≠DE。試證這六個點全都在同一平面上。（四分）

3. 請問是否存在正整數a、b、c、d使得 a^3+b^3+c^3+d^3=100^100 ？（四分）

4. 在一個正2009邊形的每條邊上各選取一點。令S為以這些所選出的點為頂點之2009邊形的面積。針對每一個所選出的點，以它所在的邊上之中點作鏡像點。試證以這些鏡像點為頂點的2009邊形之面積也等於S。（四分）

5. 某國家有南北二個首都及數個城市，它們之間有些有道路相連接。這些道路中有些是收費道路，用路人通過收費道路時都必須要繳費。已知從南方的首都到北方的首都的任何路徑都至少包含有十條收費道路。試證所有的收費道路可以分屬十家不同的公司，使得任何人駕車從南方的首都到北方的首都都必須向每家公司支付過路費。（五分）

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孫文先 敬上

3.
a=100^33
b=2*100^33
c=3*100^33
d=4*100^33

1.
可以...

第 1 次.....1 2 3 4 5 6 X
第 2 次.....2 3 4 5 6 1 X
第 3 次.....3 4 5 6 1 2 X
第 4 次.....4 5 6 1 2 3 X
第 5 次.....5 6 1 2 3 4 X
第 6 次.....6 1 2 3 4 5 X

假設還沒開...則前六個數碼必為7,8,9,0,明顯不合題意,故在六次以內必定可以打開保險箱...

2.

由AB//DE知ABDE四點可決定一平面(令為P),假設C不在此平面上則F必定也不在此平面上...

以P為xy平面做一空間座標系,令AB向量為(x,0,0)

再將所有點投影到yz平面來看...再來就作圖...反證法解決...

3.

注意到100=1,2,3,4四數的三次方和...
剩下100^99=(100^33)^3

兩式相乘即為一正整數解

4.

令此正2009邊形各頂點依序(順時針方向)為A1,A2,....,A2009,邊長r,面積T,A2010=A1,A2011=A2

Ai與Ai+1間所選的點為Bi,所成圖形為B,其鏡像點為Ci.所成圖形為C.

令三角形Ai Ai+1 Ai+2 面積為k, Ai+1Bi長為rai

則B面積=T- (sigma (k (ai) (1-a(i+1) ) ) )
=T- (sigma (k ( (ai) - (ai) (a(i+1)) ) ) )
C面積=T- (sigma (k (1-ai) (a(i+1) ) ) )
=T- (sigma (k ( (ai) - (ai) (a(i+1)) ) ) )=B面積

得證。

5.

賦予每一條路一個 j 值，此10間公司代號分別為A1,A2,...A10。

規定從南方首都出去的每一條路的 j 值都=1

每個路口後面那條路的 j 值由前面幾條路的 j 值決定，規定方法為：假設前面j值最小的為k,則這條路的 j 值就是k+1，舉例來說：假設某路口之前的兩條路 j 值分別為 3 和 5, 則後面這條路的 j 值應為 4 ( =3+1 )。

取i = j (mod 10), 其中i=1,2,...,10

由於每條路徑都至少包含10條收費路徑，故所經過的路之 j 值必定從1~10都出現過，亦即經過A1,A2,...,A10每家公司的路至少一次。

由上述可得所有的收費道路可以分屬十家不同的公司，使得任何人駕車從南方的首都到北方的首都都必須向每家公司支付過路費。