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      /  2009環球城市數學競賽秋季賽國中高級卷試題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 2009環球城市數學競賽秋季賽國中高級卷試題

1. 有十個完全相同的容器,它們都各裝有一些牛奶,但總量不超過一個容器的容量。這些容器上都有非常細密的刻度,可以百分之百地精準顯示容器內牛奶的容量。現只允許進行以下的操作:任選一個容器,將其中的一些牛奶等量地倒入其它所有的九個容器之中,以上的步驟稱為一次操作。請證明:只需進行不超過十次的操作即可使所有容器內的牛奶都等量。(四分)
2. 小克有1000個完全相同的小正立方體。將每個小正立方體中的一雙相對的面上塗成紅色,另一雙相對的面上塗成藍色,最後一雙相對的面上塗成白色。小克將這些小正立方體拼成一個10×10×10的大正立方體,使得任何兩個小正立方體相接觸的面之顏色都相同。請證明大正立方體必定有一個面上全為同一種顏色。(六分)
3. 請找出所有正整數a、b,使得(a+b^2)(a^2+b) 的乘積具有2^m 的形式,其中m為正整數。(六分)
4. 在菱形ABCD的BC、CD邊上分別取P、Q兩點,使得BP=CQ。請證明三角形APQ的重心落在線段BD上。(六分)
5. 現有一套質量分別為1克、2克、3克、…、N克的砝碼各一枚。某人欲從中取出若干枚(至少二枚)砝碼,使得所取出砝碼的總質量等於剩下砝碼的質量之平均。請證明
(a) 若N+1是完全平方數,則此人可達成目的;(二分)
(b) 若此人達成目的,則N+1是完全平方數。(七分)
6. 在一個無限大的方格表上,將2009個n×n的正方形小紙板沿著方格表的格線放置在此方格表內(每個正方形小紙板恰好蓋住方格表上n^2個小方格,正方形小紙板可以互相重疊),然後將方格表上每個放置有奇數片紙板的小方格塗上紅色。請證明塗上紅色的小方格數不少於n^2。(十分)
7. A與B兩人打算一起去有2009個小島的列島旅遊。小島間的交通只能依靠船舶相連,有些小島之間具有往返的交通船,有些則無。A和B兩人進行以下遊戲:任何小島不可以造訪二次或二次以上,由A先選擇一個小島著陸,接著由B選擇到一個未曾造訪過的小島旅遊,依此規則兩人輪流選擇。無法再繼續符合遊戲規則的行程(沒有小島可選擇或無交通船可從當時所在的小島通往所選擇的小島)者為輸方。請證明無論這些小島間船運的路線系統如何,也無論B如何應對,A永遠有數學策略可以獲勝。(十四分)


_________________
孫文先 敬上

 2010-01-24 14:45個人資料傳送 Email 給 孫文先
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽國中高級卷試題

3.令a+b^2=2^k a^2+b=2^t
由於a大於等於1 b大於等於1
所以k大於等於1 t大於等於1
令b大於a,即k大於t
則(a+b^2)-(a^2+b)
=(b^2-a^2)-(b-a)
=(b+a)(b-a)-(b-a)
=(b+a-1)(b-a)
=2^k-2^t=2^t(2^(k-t)-1)
由於2|(a+b^2)
所以a,b同奇偶
所以(b+a-1)為奇數(b-a)為偶數
所以(2^t)|(b-a)
即(a^2+b)|(b-a)
但是a^2+b大於等於a+b大於b-a(不符)
所以k不大於t,同理k不小於t
若k=t,即b=a,則(a+a^2)(a^2+a)=2^m
因此a(a+1)=2^(m/2)
由於a,a+1不同奇偶
所以a,a+1之中有一個1
因此a=1 b=1
A:只有一組 {a=1 b=1
我恨第七題


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2010-01-24 16:39個人資料
scottwang
Not too shy to talk



註冊日: 2007-08-26
發表數: 36


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽國中高級卷試題

5.(a)可分別就兩者之值考慮,並令N+1=a^2,取走質量為1~a克的砝碼,如此可解得兩者均為a(a+1)/2,得證。
但同一題的(b)小題,該從何處著手?
另外,第4題應該要如何解(有人說用座標解)?

 2010-01-24 18:29個人資料
vic526tor
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-17
發表數: 86


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽國中高級卷試題

5.(b)先假設取走其中a個砝碼時滿足題設
再設M=a個砝碼的總值量=剩下(N-a)個砝碼的平均質量,則全部砝碼的質量=M(N-a+1)=N(N+1)/2
即2M(N-a+1)=N(N+1)大於N^2+N-a^2+a=
(N-a+1)(N+a)得到2M大於N+a
另外剩下(N-a)個砝碼的平均質量的最大值=(N+a+1)/2即2M小於或等於N+a+1推得2M=N+a+1
且取走的砝碼分別為1克,2克,...,a克
所以M=(N+a+1)/2=a(a+1)/2即N+1=a^2
4.我一開始做不出來不過用座標就解出來了
6.將方格表分成數個n*n的正方形,在每個正方形同一位置的小方格上分別標上1,2,...,n^2,然後證明至少各有一個標有1,2,...,n^2的小方格上放置了奇數個紙板即得

 2010-01-24 19:35個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽國中高級卷試題

第4題用坐標很快就可以算出來了
設兩戶相垂直對角線為x y軸
再證明apq重y心作標為0即可

 2010-01-24 19:58個人資料
lochihsin
Quite a regular



註冊日: 2009-12-28
發表數: 63


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽國中高級卷試題

4. 在菱形ABCD的BC、CD邊上分別取P、Q兩點,使得BP=CQ。請證明三角形APQ的重心落在線段BD上。(六分)


好多難題阿!幸好這題讓我喘喘氣...
(我還沒正式學過幾何 所以證明可能寫得不正統而且亂七八糟 有疑問請提出來讓我解釋)
我想座標比較好解釋


三角形的重心座標是三頂點座標相加除以三
即X.Y座標的算術平均數

因A和P.Q在BD延長線異側(P.Q同側)
只要證明
Q到BD的垂直距離+P到BD的垂直距離=A到BD的垂直距離

設:
P到BD的垂直距離=a
A到BD的垂直距離=b
Q到BD的垂直距離+P到BD的垂直距離=
a+(b-a)=b=A到BD的垂直距離

因此A.P.Q座標相加除以3時
到BD的距離就會是0了
也就是在BD上

另外 第七題好難!有點抽象 不知道該從哪裡想起

 2010-01-24 20:36個人資料
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽國中高級卷試題

引文:

lochihsin 寫道:
另外 第七題好難!有點抽象 不知道該從哪裡想起


同意
而且至少有一半的人誤解了
倒覺得跟圖色法有關


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2010-01-24 22:48個人資料
b8412061
Just popping in



註冊日: 2009-07-31
發表數: 13


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽國中高級卷試題

─作答過程與感想─
1.第一次看了,沒啥感覺。第二次看了,突然想到昨天臨時報佛腳寫的類題。之後就輕輕鬆鬆的解決了。
過程如下:把十杯牛奶依牛奶容量排列,假設第二少的比最少的多了L的量,就從有第二少牛奶的容器中倒出9/10L,之後第二少的就會跟最少的那杯等量。之後假設第三少的比那兩杯多出M,就倒出9/10M,之後第二少和最少的就會跟第三少的一樣多。依此類推,九次就可以完畢了。
只有四分,不過算是很簡單的一題。ahaha...(順帶一提,因為只有四分,所以我拖了幾乎一個小時才寫)
2.用數學歸納法。
證:n*n*n的正方體擺完之後都會有至少一面同顏色。
(題目給10*10*10,只要證完以上,單一特例不成問題)
1.n=1,顯然成立。
2.假設n*n*n的正方體可以成立。在假設那面是白色的,並且面向自己。
3.討論(n+1)*(n+1)*(n+1)的情況
那面全白的面,如果在外擴增的一層又都是白色的,原命題成立。
因此,給最左上角的不同顏色(設紅色)。
紅方塊與白方塊中間的交介面不是紅色和白色,故必為藍色。
因為方塊對面和交介面顏色相同,把表面剝下來之後,第二層一樣是一片的白色,最左上角是紅色,因此其交介面亦為白色。同理可得最上層之最左排都是藍色。
觀察第二排的白色方塊,按照上面的結論,上方為藍色,因此右方為紅色。因為方塊對面和交介面顏色相同,故那第二排整排方塊右方都是紅色的,正面又都是白色的,因此上方都是藍色的。
由以上可證明。
其實我考試時寫的更複雜,也想了很久。那時四五六七題都定案了,寫的東西愈來愈多,老實說,很多次不想寫。(不過後來還是寫完了)
3.我那時只算出a=1跟b=1,沒有證明沒有其他解。覺得:比第二題更難,雖然第一次看的時候以為很簡單。沒有做法了,看上面吧。
4.幾何題啊...(本人最不擅長幾何題的說...),以為很難,不過圖畫完之後就知道這是送分的了(15分鐘結束,6分就這樣到手了)。做法跟上面網友說的差不多,就不多說了。
5.第一題可以秒殺,可是第二題就...開始下筆時也沒什麼把握,寫的天昏地暗,竟然完成了,連自己也不敢相信。
後來我是用整除的概念去做的。先設法碼數量在a^2和(a+1)^2之間,證明拿的法碼數不超過a個,然後就可以列式。我後來用輾轉相除法找出最大公因數最大值,之後相乘解方程。不過因為太麻煩了,加上上面就有解法,我就不在多寫了。(老實說,如果可以直接貼公式的話比較容易看的懂,像word或openoffice都有這種功能。不過打公式其實對打的人來說很麻煩。)
6.解法同網友所述,想了一段時間,後來想到去台北數學營時做的類似題目,才恍然大悟。(專屬於我們的秘密。那位姓林的啊,有看到的話打個招呼回應一下吧。)
7.果然是14分的題目,只有一個字:難!
不過請不要完全交白卷。環球城市盃的評分標準,相信大家應該大略知道的:有講到某些重點,就會有一定的分數。因為有14分,即使只有拿到3/7,也跟2、3、4題等價了。(不過現在後悔也來不及了...)
題目一開始看我是很沒感覺,因為太複雜了,連城市路線都不給我們,要找必勝策略?不可能一個一個列啊,有2009個ㄟ!(眾人:廢話!)
因為很多人不知道題意,所以我先稍微講解一下:
假設有A、B、C、D、E五個島。咦,不是有2009個嗎?是的,不過因為講解方便,先講五個。接者假設A島和B島有船往來,B和C有船往來,D和E有船往來。
A先開始,假設他選擇D島登陸,接者輪到B,他搭船到E島,接著又輪到A,此時DE兩島都去過不可以再去,但也沒有船可以從E島接到ABC島,因此A敗。(眾人:A是白痴吧?)
現在島變成了2009個了,太多了不可能一一排出來。
我一開始想法如下:像剛才的例子,ABC相連通,D和E相連通。至於ABC這一群跟DE這一群是完全無法流通的。因此,我稱ABC是一個「島群」,DE是一個「島群」。
2009個島,假設分成了數個島群,其中至少有一個島群有奇數個島。
個人認為這有很大的關係。假設一個島群有偶數個島,那麼最簡單的形式就是只有2個島,A選一個,B走另一個,A就輸了。題目安排2009是個奇數,想必跟這有很大的關係。
接下來要證明的一定就是讓A適當登入有奇數個島的島群中的其中一個島,可以必勝。
之後就隨便證明了...(應該不可能拿14分,不過我想最慘應該有2分吧!)
我先證明這些島全部是單向(第一個島跟第二個島連接、第二個島跟第三個島連接、第三個島跟第四個島連接,依此類推)時A必勝,這個超容易證明。
再證明放射狀(有數個島跟A島連接,之後每個島都分別為起點,做出一個單向的連接。任兩個單向的連接中間不會有連接)也可以達成目標。這裡就稍微麻煩了一點,不過要隨時注意島的總數是奇數。
接下來證明隨便連兩個島A一樣必勝。
這個證明過程我不甚滿意,因為連我自己都可以找到問題:我在證明「隨便連兩個島A一樣必勝。」時都只做一條連線。會不會萬一很多條同時連線時A就不再必勝了?不過也沒辦法,我也沒想出更好的方法了。
期待有賢者看完之後有靈感,可以接下去。
─完─

 2010-01-26 21:00個人資料
harry841129
Just popping in



註冊日: 2010-01-26
發表數: 6


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽國中高級卷試題

關於第7題
我的想法是:
我們只要挑4個島分別為a島、b島、c島、d島,而剩下的2005個島為孤島。
a島可到b島,a島可到c島,a島可到d島。而剩下所有島都無法連結。
如此一來只要A一開始在a島登陸,遊戲結束?

 2010-01-26 21:51個人資料
b8412061
Just popping in



註冊日: 2009-07-31
發表數: 13


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽國中高級卷試題

回harry841129:
題目的要求是「無論交通路線如何」,因此不可以假定交通路線。

 2010-01-26 21:53個人資料
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