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      /  2009環球城市數學競賽秋季賽高中高級卷試題
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孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 2009環球城市數學競賽秋季賽高中高級卷試題

1. 一百位海盜玩牌賭錢,當牌局結束後,他們用金沙來償還賭債,每位海盜都有足夠的金沙來支付賭債。海盜之間只允許用以下的方式來收付金沙:
(a) 向所有其它海盜支付相等數量的金沙;
(b) 向所有其它的海盜收取相等數量的金沙。
請證明經過有限次上述方式收付款後,每位贏錢的海盜都可以準確地收到他應收的款項、每位輸錢的海盜都可以準確地支付他應付的款項。(四分)
2. 將一個非正方形的矩形紙板切為N片矩形(不一定要全等)。請證明我們恆有辦法將這N片矩形每片都切為兩小片矩形,從每個矩形中各挑選一小片使得這N片恰可以拼成一個正方形、挑選剩下的N片也可以拼成另一個矩形(紙版不可以互相重疊)。(六分)
3. 有一個圓球與一個四面體的每條稜都相切,用直線連接任兩個不相鄰的稜上之切點。請證明這三條直線共點。(七分)
4. 用記號[n]!表示[n]! = 1 * 11 * 111 * ... * 111...1 (有n個1,共有n個數相乘)。請證明 [n+m]! 可被 [n]!×[m]! 整除。(九分)
5. 在三角形XYZ與凸六邊形ABCDEF中,線段AB、CD、EF分別平行且相等於線段XY、YZ、ZX。請證明以BC、DE、FA邊的中點為頂點的三角形之面積不小於三角形XYZ的面積。(九分)
6. A與B兩人打算一起去有2009個小島的列島旅遊。小島間的交通只能依靠船舶相連,有些小島之間具有往返的交通船,有些則無。A和B兩人進行以下遊戲:任何小島不可以造訪二次或二次以上,由A先選擇一個小島著陸,接著由B選擇到一個未曾造訪過的小島旅遊,依此規則兩人輪流選擇。無法再繼續符合遊戲規則的行程(沒有小島可選擇或無交通船可從當時所在的小島通往所選擇的小島)者為輸方。請證明無論這些小島間船運的路線系統如何,也無論B如何應對,A永遠有數學策略可以獲勝。(十二分)
7. 阿里巴巴寶庫的山洞入口有一圓形轉盤,它是開啟山洞門的機關。轉盤的圓周上有N個完全相同的桶子,任何相鄰桶子的距離都相等。在每一個桶子內各放置有一隻頭朝上或頭朝下的青魚。阿里巴巴每次操作都可以選擇任何位置、任何數量的桶子(數量從1個到N個)全部上下翻轉。當每次操作結束,圓盤立即開始轉動,如果所有桶內的青魚頭全部朝上或全部朝下,則山洞門就會打開。否則當圓盤停止轉動後,任何人都無法再辨認哪些桶子曾被翻轉過。無論這些青魚如何擺置,若阿里巴巴必有數學策略保證可以打開山洞門,請問所有可能的N值是什麼?(十四分)


_________________
孫文先 敬上

 2010-01-24 14:48個人資料傳送 Email 給 孫文先
math120908
Not too shy to talk



註冊日: 2005-08-23
發表數: 34


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽高中高級卷試題

4. 用記號[n]!表示 (共有n個數相乘)。請證明 [n+m]! 可被 [n]!×[m]! 整除。(九分)

補充一下第四題是說[n]! = 1 * 11 * 111 * ... * (10^n-1)/9


_________________
If I have seen farther, it is by standing on the shoulders of the giants.---Newton

 2010-01-24 23:15個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽高中高級卷試題

4.用數學歸納法
不妨設m小於等於m
把m看成常數對n歸納
m n都是正整數
n當=1 原試成立
設n=k時亦成立
此時k+1>m
即 [k+m]! 可被 [k]!×[m]! 整除
當n=k+1時
原式=[k+1+m]! / [k+1]!×[m]!= [k+m]!/ [k]!×[m]! {1+11111.....1111(k+1有個1)}=[k+m]!/ [k]!×[m]! +[k+m]!/(11111.....1111(k+1有個1)[k]!×[m]!...(1)

觀查11|1111 和111|111111(a|b表示b可以a被整除)
11..11(x個1)|1111.....11111(2x個1)...(2)

再由[k+m]! 可被 [k]!×[m]! 整除
=> [k]!×[m]! | (11..11(k+1個)){1*11*..*11..11(k個1)*11..11(k+2個1)*........*11..11(k+m個)...(3)
利用(1) (2) (3) 及k+m>2m+1>2m 可知
[k+m]!/[k+1]![m]!=11..11(k+2個1)*...*11..11(k+m個1)/[m]!

=>11..11(k+2個1)*...*11..11(k+m個1)可被[m}整除

n=k+1時成立

 2010-01-25 15:47個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽高中高級卷試題

5.(1)當六邊形為正六邊形時成立
(2)當六邊形不為正六邊形時
首先須知到愛可爾思定理
可以查(幾何明珠) 或網路
在AFEB BEDC ABCF中應用愛可爾思定理
經過一連的討論(AF BE的夾角.....)
可得
AFEB BEDC ABCF
中的兩對邊夾角會同時大於60度
就可以算出來
只市過成很複雜

 2010-01-25 17:42個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽高中高級卷試題

也就是若AB=a
CD=b
EF=c
則以以BC、DE、FA邊的中點為頂點的三角形之面積的三邊長都會大於等於a+b+c/2

 2010-01-25 17:44個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽高中高級卷試題

AFEB BEDC ABCF
中的兩對邊夾角會同時大於60度
更正:應是小於60度

 2010-01-25 21:02個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽高中高級卷試題

3.首先先證明若四面體ABCD的稜AB BC CD DA與球相切 則諸切點在同一平面上
設稜AB BC CD DA上的切點分別為M N P Q
則AM=AQ BM=BN CN=CP DP=DQ
又平糆
MNP不含A B C D中的任一點因此A B 為於平面MNP兩測 同理B和C C和D都分別為於平面MNP兩側 從而A D 為於平面MNP兩側 因此社AD交平面MNP於一點R
設A B C D在平面MNP的射影為W X Y Z
則有AM/BM=AW/BX BN/CN=BX/CY CP/DP=CY/DZ DR/RA=AW/DZ
於是AM/BM*BN/CN*CP/DP*DR/RA=1
化簡為AQ(AD-AR)=AR(AD-AQ)
得AQ=AR 所以R Q重何 即M N P Q共面

在利用空間向量
可先假社M N P Q 的坐標
求出平面MNPQ方程
在與令外兩個平面求出它們彼此的3條交現
最後利用行列式證明它们共點
即得證
中間計算略

 2010-01-27 15:17個人資料
abc831128
Just can't stay away



註冊日: 2007-06-26
發表數: 104


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽高中高級卷試題

這是到基測前算的最後一道競賽題

 2010-01-27 15:19個人資料
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽高中高級卷試題

4. 用記號[n]!表示[n]! = 1 * 11 * 111 * ... * 111...1 (有n個1,共有n個數相乘)。請證明 [n+m]! 可被 [n]!×[m]! 整除。(九分)

令111...11(n個)=A_n
一、證A_n|A_mn(長除法證)
二、證(A_x,A_y)=1,其中x,y為質數(輾轉相除)
剩下的就和證(m!)*(n!)|(mn)!的方式一樣了


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2010-01-27 20:08個人資料
vic526tor
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-17
發表數: 86


 Re: 2009環球城市數學競賽秋季賽高中高級卷試題

我不太懂第7題的意思,有人能解釋一下嗎?

 2010-01-28 19:08個人資料
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