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      /  有趣的題目=口=|||
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發布者內容列
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 有趣的題目=口=|||

有七個互不相同的自然數
其平均為20
又其中有
- 三個奇質數
- 三個平方數
- 三個立方數
- 三個三角數
- 三個費布納西數
求這七個數


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2010-03-26 20:50個人資料
Quarterback
Just popping in



註冊日: 2009-12-07
發表數: 19


 Re: 有趣的題目=口=|||

第一步
顯然奇質數不可能是平方數或立方數,因此平方數和立方數共有4個,易知同時為平方數和立方數的數有2或3個,又由"平均為20"知7個數總和為140,而同時為平方和立方數的數必為一個6次方數,最小的3個6次方數為1,64,729,而729大於140,不合(7數皆為自然數)。

故必有1和64兩數。

第二步
剩餘的5個數,有3個是奇質數,1個平方數,1個立方數,2個三角數,2個費氏數。令平方數和立方數為(a^2) & (b^3) ,易知此二數之和小於等於60( 最小的3個奇質數之和等於15,140-(1+64+15)=60 )

又三個奇質數+1+64為偶數,故a,b同奇偶性,可解得(a^2,b^3)=(4,8),(16,8),(36,8),(9,27),(25,27)

第三步,證明(b^3)=27不合,即(b^3)=8
假設27可以,則剩下的數有3個是奇質數,1個平方數,2個三角數,2個費氏數,又9和25都不是三角數,故3個奇質數中,有2個三角數,而三角數=[(n)(n+1)/2],當n>2時[(n)(n+1)/2]中,n或n+1(取偶數的那一個)除以2會大於等於2,於是有當n>2時[(n)(n+1)/2]為合數,而當n=1時,此三角數即為1,故剩下的數中,不可能符合所要求的條件,因此(b^3)=27不合,故(b^3)=8。

第四步,證明(a^2)=36
剩下的4個數中,有3個是奇質數,1個平方數,2個三角數,1個費氏數,若(a^2)=4或16,則剩下3個數含有3個奇質數,2個三角數(另有1個費氏數),在第3步我們已經證明了這種狀況是不合的,因此(a^2)必定等於36(36為三角數)。

第五步,證明3是所求7個數之一
剩下的3個數都是奇質數,其中有1個三角數(另有1個費氏數),前面已經證明過,符合同時為奇質數和三角數的只有3,因此3是所求7個數之一。

第六步,找出剩下的2個數
1+64+8+36+3=112,因此剩下的兩個數,c&d(令c>d),滿足:c,d皆為奇質數,但不是費氏數,且c+d=28,而符合這些條件的數對(c,d)只有1組解:(17,11)

綜上所述,符合題目要求的7個數只有一組解:(1,3,8,11,17,36,64)

希望我沒有疏漏掉的部分....呃...或是錯字

 2010-03-26 23:43個人資料
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 有趣的題目=口=|||

答對了
我自己出的歐~
當初我設定的是質數
結果就有第二組解
1,2,3,7,27,36,64


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
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超混的俱樂部成員

 2010-03-27 14:18個人資料
Quarterback
Just popping in



註冊日: 2009-12-07
發表數: 19


 Re: 有趣的題目=口=|||

嗯....如果是質數的話解法應該也差不多吧

只是會比較複雜一點...(a^2和b^3多了一些可能解...而且不能證明27不合)

不過為什麼會想到這樣子的題目呀??

好奇妙~

 2010-03-27 18:40個人資料
lochihsin
Quite a regular



註冊日: 2009-12-28
發表數: 63


 Re: 有趣的題目=口=|||

什麼是三角數

 2010-03-30 15:15個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 有趣的題目=口=|||

引文:

lochihsin 寫道:
什麼是三角數


三角數就像是1,3,6,10,15這類的[n(n+1)/2),其中n為正整數]


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-04-04 14:19個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7


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