第一步
顯然奇質數不可能是平方數或立方數，因此平方數和立方數共有4個，易知同時為平方數和立方數的數有2或3個，又由"平均為20"知7個數總和為140，而同時為平方和立方數的數必為一個6次方數，最小的3個6次方數為1,64,729，而729大於140，不合(7數皆為自然數)。
故必有1和64兩數。
第二步
剩餘的5個數，有3個是奇質數，1個平方數，1個立方數，2個三角數，2個費氏數。令平方數和立方數為(a^2) & (b^3) ，易知此二數之和小於等於60( 最小的3個奇質數之和等於15,140-(1+64+15)=60 )
又三個奇質數+1+64為偶數，故a,b同奇偶性，可解得(a^2,b^3)=(4,8),(16,8),(36,8),(9,27),(25,27)
第三步，證明(b^3)=27不合，即(b^3)=8
假設27可以，則剩下的數有3個是奇質數，1個平方數，2個三角數，2個費氏數，又9和25都不是三角數，故3個奇質數中，有2個三角數，而三角數=[(n)(n+1)/2]，當n>2時[(n)(n+1)/2]中，n或n+1(取偶數的那一個)除以2會大於等於2，於是有當n>2時[(n)(n+1)/2]為合數，而當n=1時，此三角數即為1，故剩下的數中，不可能符合所要求的條件，因此(b^3)=27不合，故(b^3)=8。
第四步，證明(a^2)=36
剩下的4個數中，有3個是奇質數，1個平方數，2個三角數，1個費氏數，若(a^2)=4或16，則剩下3個數含有3個奇質數，2個三角數(另有1個費氏數)，在第3步我們已經證明了這種狀況是不合的，因此(a^2)必定等於36(36為三角數)。
第五步，證明3是所求7個數之一
剩下的3個數都是奇質數，其中有1個三角數(另有1個費氏數)，前面已經證明過，符合同時為奇質數和三角數的只有3，因此3是所求7個數之一。
第六步，找出剩下的2個數
1+64+8+36+3=112，因此剩下的兩個數，c&d(令c>d)，滿足：c,d皆為奇質數，但不是費氏數，且c+d=28，而符合這些條件的數對(c,d)只有1組解：(17,11)
綜上所述，符合題目要求的7個數只有一組解：(1,3,8,11,17,36,64)
希望我沒有疏漏掉的部分....呃...或是錯字 |
