有一三角形ABC和他的外接圓O1
現在有一個圓O2內接於圓O1
且和AB.AC相切
切點D.E P為DE中點
證明:P為三角形ABC內心

圖片如下

這個題目在大陸1990年一本國三數學書上有介紹
作為一道思考題，也沒有答案
我做了一下：
不妨證明其逆命題：已知P為內心，O2切AB,AC，證明園O2切園O1于F（即使證O2F+O1O2=O1F）
連接D和O2，O1和O2，作過O1的O1H垂直AB于H
設AB=c,AC=b,角BAC
用正旋定理，余旋定理，勾股定理可以把O1O2,O1F,O2F，用b,c，角BAC表示出來
再通過代數變換可得兩邊相等
（极麻煩，有耐性可試一下）

延伸有...
mosp某題是這麼寫到的，若P是三角形ABC的內心
，求證:角BFP=角CFP

以F為位似變換中心作位似變換(就是縮放)使O2--->O1則D--->D' E--->E'(D',E'在圓O1上)
且不難證明D'為弧AB的中點，E'為弧AC的中點
我們知道BE'與CF'的交點是內心假設是P'，但是由帕斯卡定理D,P',E三點共線，所以P'為三角形ABC內心而且在DE上，所以P'=P

抱歉我粗略寫一下而已
突然想到這真是漂亮
糟糕圖太大了...
如果不知道為啥D',E'分別是弧AB和弧AC中點
我補述一下唄
顯然O2D和O2E分別垂直於AB和AC
他們經由縮放後變成O1D'和O1E'當然還是分別垂直AB和AC
這就代表了"D',E'分別是弧AB和弧AC中點"

使O2--->O1則D--->D' E--->E'(D',E'在圓O1上)
這句有點不懂，
為何使O2--->O1做相似變換的D'和E'必在圓上呢？
還有可否解釋一下帕斯卡定理？
跟您請教一下，感激不盡！

首先，我們知道F,O1,O2共線(因為兩圓相切)，首先令圓O2半徑=r，圓O1半徑=R
我好怕會講很亂所以這樣想好了...
我們先只要看D,E,F三點就好
延長DF和EF各交圓O1於D',E'，過F做兩圓切線由弦切角可以知道DE平行D'E'
那麼三角形DEF相似於三角形D'E'F
他們的邊長比可以任意找一段弦來看，我找D'E'和DE
因為他們夾的弧一樣所以DE:D'E'=r:R
又F,O2,O1在同一條線上
所以由比例線段可以知道O1E'平行O2E，O1D'平行O2D
這時我們就說以F為位似變換中心，作位似變換O2--->O1
當然放大比例就是R/r，經過剛剛的證明可以知道D'和E'在圓O1上(圓O1也可以說是圓O2位似變換而來的)

帕斯卡定理
簡述一下
圓內接六邊形，三組對邊的三個交點共線
這六邊的頂點可以隨意(兩邊長交叉也沒關係)
像那張圖的六邊形叫做ABCD'FE'(或ABE'FD'C)，照順序畫就能找到對邊了(AB,CD',FE'互為對邊)
證明大部份書上都寫說用梅涅勞斯，網路上也有(維基)可以看看喔。
幾何明珠(九章出版社)是本好書，很多書局都有擺可以考慮去看看
對了順便去找"帕普斯定理"長的還蠻像的

simon89889 解得很好！

但讓我訝異的是：
網路上找到的 pascal 定理有兩個(至少)。
simon89889 用維基的定義，這樣好像怪怪的！
令一個是 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_08/page6.html
參考看看吧！

另外
證明D'為弧AB的中點，E'為弧AC的中點，
應該不需圖形變換(就是縮放)便可簡單證明。
simon89889的文中大致也說了。
∆DEF ∼ ∆D'E'F (∵∠DEF=∠D'E'F)
O2E⊥AC，∴O1E'⊥AC

不知道耶
因為有些書(幾何明珠)上都把它當六邊形看還是這是他原始的定理說明?...
有順序這樣可能比較好找對邊

而且如果用變換來做習慣後就變的簡潔(例如內切圓和旁切圓的問題)又好懂
把圖形玩來玩去比較好玩咩= =

感謝指導，
不過我很好奇你是怎麼想到這種方法的啊？
是從哪一方面聯想的？