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發布者內容列
qq90212g
Not too shy to talk



註冊日: 2009-03-26
發表數: 30


 內心

有一三角形ABC和他的外接圓O1
現在有一個圓O2內接於圓O1
且和AB.AC相切
切點D.E P為DE中點
證明:P為三角形ABC內心

 2010-04-14 21:17個人資料傳送 Email 給 qq90212g
qq90212g
Not too shy to talk



註冊日: 2009-03-26
發表數: 30


 Re: 內心

圖片如下

 2010-04-15 19:16個人資料傳送 Email 給 qq90212g
lingfuzhang
Just popping in



註冊日: 2010-05-23
發表數: 7
大陸四川

 Re: 內心

這個題目在大陸1990年一本國三數學書上有介紹
作為一道思考題,也沒有答案
我做了一下:
不妨證明其逆命題:已知P為內心,O2切AB,AC,證明園O2切園O1于F(即使證O2F+O1O2=O1F)
連接D和O2,O1和O2,作過O1的O1H垂直AB于H
設AB=c,AC=b,角BAC
用正旋定理,余旋定理,勾股定理可以把O1O2,O1F,O2F,用b,c,角BAC表示出來
再通過代數變換可得兩邊相等
(极麻煩,有耐性可試一下)

 2010-05-23 12:10個人資料傳送 Email 給 lingfuzhang
simon89889
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-13
發表數: 89


 Re: 內心

延伸有...
mosp某題是這麼寫到的,若P是三角形ABC的內心
,求證:角BFP=角CFP

 2010-05-24 17:40個人資料
simon89889
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-13
發表數: 89


 Re: 內心

以F為位似變換中心作位似變換(就是縮放)使O2--->O1則D--->D' E--->E'(D',E'在圓O1上)
且不難證明D'為弧AB的中點,E'為弧AC的中點
我們知道BE'與CF'的交點是內心假設是P',但是由帕斯卡定理D,P',E三點共線,所以P'為三角形ABC內心而且在DE上,所以P'=P

抱歉我粗略寫一下而已
突然想到這真是漂亮
糟糕圖太大了...
如果不知道為啥D',E'分別是弧AB和弧AC中點
我補述一下唄
顯然O2D和O2E分別垂直於AB和AC
他們經由縮放後變成O1D'和O1E'當然還是分別垂直AB和AC
這就代表了"D',E'分別是弧AB和弧AC中點"

 2010-06-06 13:48個人資料
winston3221
Just popping in



註冊日: 2009-04-18
發表數: 3


 Re: 內心

使O2--->O1則D--->D' E--->E'(D',E'在圓O1上)
這句有點不懂,
為何使O2--->O1做相似變換的D'和E'必在圓上呢?
還有可否解釋一下帕斯卡定理?
跟您請教一下,感激不盡!

 2010-06-09 19:07個人資料
simon89889
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-13
發表數: 89


 Re: 內心

首先,我們知道F,O1,O2共線(因為兩圓相切),首先令圓O2半徑=r,圓O1半徑=R
我好怕會講很亂所以這樣想好了...
我們先只要看D,E,F三點就好
延長DF和EF各交圓O1於D',E',過F做兩圓切線由弦切角可以知道DE平行D'E'
那麼三角形DEF相似於三角形D'E'F
他們的邊長比可以任意找一段弦來看,我找D'E'和DE
因為他們夾的弧一樣所以DE:D'E'=r:R
又F,O2,O1在同一條線上
所以由比例線段可以知道O1E'平行O2E,O1D'平行O2D
這時我們就說以F為位似變換中心,作位似變換O2--->O1
當然放大比例就是R/r,經過剛剛的證明可以知道D'和E'在圓O1上(圓O1也可以說是圓O2位似變換而來的)

帕斯卡定理
簡述一下
圓內接六邊形,三組對邊的三個交點共線
這六邊的頂點可以隨意(兩邊長交叉也沒關係)
像那張圖的六邊形叫做ABCD'FE'(或ABE'FD'C),照順序畫就能找到對邊了(AB,CD',FE'互為對邊)
證明大部份書上都寫說用梅涅勞斯,網路上也有(維基)可以看看喔。
幾何明珠(九章出版社)是本好書,很多書局都有擺可以考慮去看看
對了順便去找"帕普斯定理"長的還蠻像的

 2010-06-09 23:21個人資料
myfund168
Just can't stay away



註冊日: 2009-05-18
發表數: 148


 Re: 內心

simon89889 解得很好!

但讓我訝異的是:
網路上找到的 pascal 定理有兩個(至少)。
simon89889 用維基的定義,這樣好像怪怪的!
令一個是 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_08/page6.html
參考看看吧!

另外
證明D'為弧AB的中點,E'為弧AC的中點,
應該不需圖形變換(就是縮放)便可簡單證明。
simon89889的文中大致也說了。
∆DEF ∼ ∆D'E'F (∵∠DEF=∠D'E'F)
O2E⊥AC,∴O1E'⊥AC

 2010-06-11 00:09個人資料
simon89889
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-13
發表數: 89


 Re: 內心

不知道耶
因為有些書(幾何明珠)上都把它當六邊形看還是這是他原始的定理說明?...
有順序這樣可能比較好找對邊

而且如果用變換來做習慣後就變的簡潔(例如內切圓和旁切圓的問題)又好懂
把圖形玩來玩去比較好玩咩= =

 2010-06-11 06:29個人資料
winston3221
Just popping in



註冊日: 2009-04-18
發表數: 3


 Re: 內心

感謝指導,
不過我很好奇你是怎麼想到這種方法的啊?
是從哪一方面聯想的?

 2010-06-13 11:20個人資料
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