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      /  一個難題
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發布者內容列
d22538366
Home away from home



註冊日: 2010-12-25
發表數: 176


 Re: 一個難題

引文:

yee3816547290 寫道:
可以用數學歸納法證明。
不過這個問題為什麼放在小學?


但這方法只能驗證這個代數式的真假
無法預測其結果

 2011-01-20 19:36個人資料傳送 Email 給 d22538366
d22538366
Home away from home



註冊日: 2010-12-25
發表數: 176


 Re: 一個難題

也可利用恆等式(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1
兩邊取sigma(k=1到k=n)經化簡就出來了
注意等號左邊是n^3
這方法的好處就是可以以類似的方法推出
指數為其他正整數時的結果
(二項式定理的應用)
不需要每種情況都慢慢的找規律

 2011-01-20 19:48個人資料傳送 Email 給 d22538366
d22538366
Home away from home



註冊日: 2010-12-25
發表數: 176


 Re: 一個難題

http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/48/high/030407.pdf
參考一下吧

 2011-01-20 19:58個人資料傳送 Email 給 d22538366
yee3816547290
Home away from home



註冊日: 2009-03-31
發表數: 701


 Re: 一個難題

n=1時
1^2=1^3,成立。
令n=k成立,
(1+2+...+k)^2=1^3+2^3+...+k^3
則n=k+1時
[1+2+...+k+(k+1)]^2
=(1+2+...+k)^2+2*(1+2+...+k)*(k+1)+(k+1)^2
=1^3+2^3+...+k^3+2*(k+1)*k/2*(k+1)+(k+1)^2
=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^2*(k+1)
=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3
故得證。

 2011-01-21 22:30個人資料
yee3816547290
Home away from home



註冊日: 2009-03-31
發表數: 701


 Re: 一個難題

引文:

d22538366 寫道:
但這方法只能驗證這個代數式的真假
無法預測其結果


何謂無法預測其結果?

 2011-01-21 22:32個人資料
d22538366
Home away from home



註冊日: 2010-12-25
發表數: 176


 Re: 一個難題

引文:

yee3816547290 寫道:
引文:

d22538366 寫道:
但這方法只能驗證這個代數式的真假
無法預測其結果


何謂無法預測其結果?


就是說數學歸納法只能驗證命題
那如果問你(1+2+3....+n)的平方是多少時
當然就得先觀察規律
才能用數學歸納法
以這題你的方法沒有錯
但要求值時就較為麻煩

 2011-01-22 00:21個人資料傳送 Email 給 d22538366
zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 一個難題

引文:

d22538366 寫道:
引文:

yee3816547290 寫道:
引文:

d22538366 寫道:
但這方法只能驗證這個代數式的真假
無法預測其結果


何謂無法預測其結果?


就是說數學歸納法只能驗證命題
那如果問你(1+2+3....+n)的平方是多少時
當然就得先觀察規律
才能用數學歸納法
以這題你的方法沒有錯
但要求值時就較為麻煩


他的方法不就是你說的待定係數法嗎??


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2011-01-22 12:52個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
d22538366
Home away from home



註冊日: 2010-12-25
發表數: 176


 Re: 一個難題

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

d22538366 寫道:
引文:

yee3816547290 寫道:
引文:

d22538366 寫道:
但這方法只能驗證這個代數式的真假
無法預測其結果


何謂無法預測其結果?


就是說數學歸納法只能驗證命題
那如果問你(1+2+3....+n)的平方是多少時
當然就得先觀察規律
才能用數學歸納法
以這題你的方法沒有錯
但要求值時就較為麻煩


他的方法不就是你說的待定係數法嗎??


待定係數法和數學歸納法是不一樣的
若以這題來看可設原式為
an^4+bn^3+cn^2+dn+e
然後n再分別用x.y.z.w.s五個相異已知數代入
解聯立就出來了

但有一點要強調
就是你所推出的式子要用數學歸納法
來驗證.因為目前所得的式子只是一個推斷
這在處理任意自然數次時是一個好方法
因為不用一個一個的找規律
還有在代入x.y.z.w.s時盡量用較簡單數值代入
這樣解聯立就比較簡單
若題目要求的次數較大(所得的方程組太大)
就用矩陣吧

 2011-01-23 16:41個人資料傳送 Email 給 d22538366
zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 一個難題

引文:

d22538366 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

d22538366 寫道:
引文:

yee3816547290 寫道:
引文:

d22538366 寫道:
但這方法只能驗證這個代數式的真假
無法預測其結果


何謂無法預測其結果?


就是說數學歸納法只能驗證命題
那如果問你(1+2+3....+n)的平方是多少時
當然就得先觀察規律
才能用數學歸納法
以這題你的方法沒有錯
但要求值時就較為麻煩


他的方法不就是你說的待定係數法嗎??


待定係數法和數學歸納法是不一樣的
若以這題來看可設原式為
an^4+bn^3+cn^2+d
然後n再分別用x.y.z.w四個相異已知數代入
解聯立就出來了

但有一點要強調
就是你所推出的式子要用數學歸納法
來驗證.因為目前所得的式子只是一個推斷
這在處理任意自然數次時是一個好方法
因為不用一個一個的找規律
還有在代入x.y.z.w時盡量用較簡單數值代入
這樣解聯立就比較簡單
若題目要求的次數較大(所得的方程組太大)
就用矩陣吧



你上面少了"n項".......................................

不是這樣嗎??
an^4+bn^3+cn^2+dn+e
用n=1代入要等於1^3--------------a+b+c+d+e=1
而[a(n+1)^4+b(n+1)^3+c(n+1)^2+d(n+1)+e]-[an^4+bn^3+cn^2+dn+e]要=(n+1)^3
然後就解出來了


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2011-01-23 18:42個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
d22538366
Home away from home



註冊日: 2010-12-25
發表數: 176


 Re: 一個難題

引文:

yee3816547290 寫道:
n=1時
1^2=1^3,成立。
令n=k成立,
(1+2+...+k)^2=1^3+2^3+...+k^3
則n=k+1時
[1+2+...+k+(k+1)]^2
=(1+2+...+k)^2+2*(1+2+...+k)*(k+1)+(k+1)^2
=1^3+2^3+...+k^3+2*(k+1)*k/2*(k+1)+(k+1)^2
=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^2*(k+1)
=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3
故得證。


他用的是標準的數學歸納法基本型

最簡單和常見的數學歸納法是證明當 n 等於任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步:
骨牌一個接一個倒下,就如同一個值到下一個值的過程。

1. 證明當 n = 1 時命題成立。
2. 證明如果在 n = m 時命題成立,那麼可以推導出在 n = m+1 時命題也成立。(m 代表任意自然數)
參考自http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%95%B8%E5%AD%B8%E6%AD%B8%E7%B4%8D%E6%B3%95

 2011-01-23 19:26個人資料傳送 Email 給 d22538366
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