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      /  環球城市數學競賽2003秋季賽高中組初級卷第四題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽2003秋季賽高中組初級卷第四題

4.用邊長為1之正方形的四個邊為斜邊分別向正方形外作四個直角三角形。令點A、B、C、D分別為這四個直角三角形直角上的頂點。O1、O2 、 O3、O4 分別為這四個直角三角形內切圓的圓心。試證:
(a)四邊形ABCD的面積不大於2。(三分)
(b)四邊形 O1O2O3O4 的面積不大於1。(三分)


_________________
孫文先 敬上

 2003-11-22 19:29個人資料傳送 Email 給 孫文先
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2003秋季賽高中組初級卷第四題

令O為正方形重心,P1 P2 P3 P4為直角三角形頂點,則由s=1/2absinC可能三角形OP1P2最大面積為1/2

 2003-11-23 20:00
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2003秋季賽高中組初級卷第四題

我們必須證明為什麼三角形OP1P2最大面積為1/2?這樣才完整。請寫出詳細過程供大家參考。
(b)部份呢?
孫文先

 2003-11-24 11:26
chf0523
Just can't stay away



註冊日: 2003-08-11
發表數: 87
台南

 Re: 環球城市數學競賽2003秋季賽高中組初級卷第四題

(a) 證明 : 四邊形ABCD的面積不大於2。
1.
若分別以正方形四邊為斜邊向外作直角三角形,
則其四個直角頂 A,B,C,D 必落在分別以正方形四邊為直徑的圓上
2.
取正方形之中心點 O ,
則四邊形ABCD=△AOB+△BOC+△COD+△DOA
= ½ (OA)(OB) sin∠AOB +½ (OB)(OC) sin∠BOC
+½ (OC)(OD) sin∠COD + ½ (OD)(OA) sin∠AOD
≦ ½ (1)(1) sin90°+½ (1)(1) sin90°
+½ (1)(1) sin90°+½ (1)(1) sin90°
(因為當A,B,C,D 分別在外圓周中心點時才能使 OA,OB,OC,OD 有最大值 1)
= 4 (½) (1)(1) sin90°
= 2


_________________
孩子們, 別再問我為何每天都穿 KAPPA 了!

 2003-11-25 09:56個人資料傳送 Email 給 chf0523
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2003秋季賽高中組初級卷第四題

您最好說明一下 sin 的值最大是sin90°=1
這部份您應可得滿分。
孫文先敬上

 2003-11-25 17:54
galois5
Just can't stay away



註冊日: 2003-11-08
發表數: 86


 Re: 環球城市數學競賽2003秋季賽高中組初級卷第四題

第2小題:
O1,O2,O3,O4 4個點都在:
以正方形中心點O為圓心,對角線長一半(1/根號2)為半徑的圓上,
(因為角PO1Q=135度,其中 P Q 是正方形兩頂點)
所以,四邊形面積=
0.5*(1/根號2)^2*(sin O1OO2
+sin O2OO3
sin O3OO4
sin O4OO1)
<=
0.5*0.5*(1+1+1+1)=1.

 2003-11-26 12:57個人資料
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2003秋季賽高中組初級卷第四題

「O1,O2,O3,O4 4個點都在:以正方形中心點O為圓心,對角線長一半(1/根號2)為半徑的圓上」,這部分如能說詳細一點,您應可以得滿分。
孫文先敬上

 2003-11-26 13:33


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