4.用邊長為1之正方形的四個邊為斜邊分別向正方形外作四個直角三角形。令點A、B、C、D分別為這四個直角三角形直角上的頂點。O1、O2 、 O3、O4 分別為這四個直角三角形內切圓的圓心。試證：
(a)四邊形ABCD的面積不大於2。(三分)
(b)四邊形 O1O2O3O4 的面積不大於1。（三分）

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孫文先 敬上

令O為正方形重心，P1 P2 P3 P4為直角三角形頂點，則由s=1/2absinC可能三角形OP1P2最大面積為1/2

我們必須證明為什麼三角形OP1P2最大面積為1/2？這樣才完整。請寫出詳細過程供大家參考。
(b)部份呢？
孫文先

(a) 證明 : 四邊形ABCD的面積不大於2。
1.
若分別以正方形四邊為斜邊向外作直角三角形,
則其四個直角頂 A,B,C,D 必落在分別以正方形四邊為直徑的圓上
2.
取正方形之中心點 O ,
則四邊形ABCD=△AOB+△BOC+△COD+△DOA
= ½ (OA)(OB) sin∠AOB +½ (OB)(OC) sin∠BOC
+½ (OC)(OD) sin∠COD + ½ (OD)(OA) sin∠AOD
≦ ½ (1)(1) sin90°+½ (1)(1) sin90°
+½ (1)(1) sin90°+½ (1)(1) sin90°
(因為當A,B,C,D 分別在外圓周中心點時才能使 OA,OB,OC,OD 有最大值 1)
= 4 (½) (1)(1) sin90°
= 2

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孩子們, 別再問我為何每天都穿 KAPPA 了!

您最好說明一下 sin 的值最大是sin90°=1
這部份您應可得滿分。
孫文先敬上

第2小題：
O1,O2,O3,O4 4個點都在:
以正方形中心點O為圓心，對角線長一半(1/根號2)為半徑的圓上,
(因為角PO1Q=135度，其中 P Q 是正方形兩頂點)
所以，四邊形面積=
0.5*(1/根號2)^2*(sin O1OO2
+sin O2OO3
sin O3OO4
sin O4OO1)
<=
0.5*0.5*(1+1+1+1)=1.

「O1,O2,O3,O4 4個點都在:以正方形中心點O為圓心，對角線長一半(1/根號2)為半徑的圓上」，這部分如能說詳細一點，您應可以得滿分。
孫文先敬上