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      /  2010東南的第三題阿~~
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leierhuang
Just popping in



註冊日: 2009-12-02
發表數: 8


 2010東南的第三題阿~~

話說今年東南的第三題阿..
天阿我根本不知道要怎麼下手...囧
他是這麼說的:

已知三角形ABC內切圓I分別與邊AB、BC相切於F、D,直線AD、CF分別交圓I於另一點H、K。求證:
FDxHK=3(FHxDK)

阿就麻煩大家了~~謝謝啦=D

 2010-08-19 04:50個人資料
yankeerock1
Not too shy to talk



註冊日: 2010-02-21
發表數: 26


 Re: 2010東南的第三題阿~~

我也是考生 提供一個有點暴力的作法,可惜考試的時候好像計算錯誤了...
由托勒密訂理元題等價逾FN*MD=4FM*DN
(CF-CN)*(AD-AM)=(CF-CD平方/CF)(AD-AF平方/AD)
又4FM*DN=4(FD*AF/AD)*(FD*CD/CF)
等價4FD平方*AF*CD=(CF平方-CD平方)(AD平方-AF平方)
然後用餘弦定理把右是換掉
然後COSBDF=FD/BD,DF=2BD*SINB/2
等價AF*CD=AB*AC*SINB/2
接下來報開就得證了
我省略了一些步驟
我也覺得我的做法沒有很漂亮
但至少做得出來
各位高手請提供更好的作法吧
(我的M和N分別是樓主的H和K)

 2010-08-19 17:27個人資料
simon89889
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-13
發表數: 89


 Re: 2010東南的第三題阿~~

設內切圓切AC於G
原式等價於FK*HD=4FH*DK
由切割線性質可以得到GK*DF=DK*FG,FH*DG=HG*FD
由托勒密定理
FK*DG=2DK*FG
FG*DH=2FH*DG
兩式相乘即得FK*HD=4FH*DK
所以原式亦成立

 2010-08-20 00:15個人資料
yankeerock1
Not too shy to talk



註冊日: 2010-02-21
發表數: 26


 Re: 2010東南的第三題阿~~

真是簡單明瞭阿
雖然我也有想到G點
但卻沒想到這一步
好方法

 2010-08-20 00:29個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 2010東南的第三題阿~~

唉,看來我還是得再多學一點高中數學啊......
數學中我最弱的就是圓了!!
我不會的題目有9成都是圓啊!!


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-08-20 04:56個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
celine.yang06
Quite a regular



註冊日: 2007-08-28
發表數: 44


 Re: 2010東南的第三題阿~~

引文:

simon89889 寫道:
設內切圓切AC於G
原式等價於FK*HD=4FH*DK
由切割線性質可以得到GK*DF=DK*FG,FH*DG=HG*FD
由托勒密定理
FK*DG=2DK*FG
FG*DH=2FH*DG
兩式相乘即得FK*HD=4FH*DK
所以原式亦成立


由切割線性質可以得到GK*DF=DK*FG,FH*DG=HG*FD是怎麼得到的
我有點當機了

 2010-08-21 22:55個人資料
simon89889
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-13
發表數: 89


 Re: 2010東南的第三題阿~~

一個角左右兩邊各有一組相似三角形(切割線性質)
觀察三角形線段比例就可以得到了
就像這樣GK:GF=CK:CG=CK:CD(橋樑)=DK:DF

 2010-08-23 03:18個人資料


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