| 發布者 | 內容列 |
s972013
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|  不定方程 |  | 如何證明不定方程式 2(X平方)=(Y平方)+(8t±1)
當為t正整數 且8t±1為質數時
必有正整數解(X,Y)
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| 2010-09-02 04:45 |  |
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home
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發表數: 559
台灣台中市
| | Re: 不定方程 | | 不太清楚你的意思......
2(x^2)=y^2+(8t±1)必有正整數解(x,y)
是要證明兩種皆有解
還是其中一種有解??
當t為正整數,且8t±1為質數
是指兩種皆為質數
還是其中一種為質數??
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| 2010-09-03 04:49 |  |
s972013
Just popping in
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發表數: 7
| | Re: 不定方程 | | 引文:
zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
不太清楚你的意思......
2(x^2)=y^2+(8t±1)必有正整數解(x,y)
是要證明兩種皆有解
還是其中一種有解?? 兩種皆有解
當t為正整數,且8t±1為質數
是指兩種皆為質數
還是其中一種為質數?? 其中一種為質數
也就是要證明:所有同餘1或-1(mod8)的質數p
如7,17,23,31,41,47,71...
一定存在兩個正整數(X,Y)使得 2(x^2)=y^2+p
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| 2010-09-04 17:26 | |
zaq1bgt5cde3mju7
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發表數: 559
台灣台中市
|  Re: 不定方程 | | 所以題目是這樣囉??
對所有形如8t+1或8t-1的質數p(t為正整數)
證明:必存在兩正整數x,y,使得2(x^2)=y^2+p
對吧??
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| 2010-09-05 04:43 | |
WENDYCHI
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發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^
| | Re: 不定方程 | |
7,17,23,31,41,47,71...
7=4*2-1
17=9*2-1
23=16*2-9
31=16*2-1
41=25*2-9
47=36*2-25
71=36*2-1
_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N
超混的俱樂部成員
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| 2010-09-06 05:46 | |
zaq1bgt5cde3mju7
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發表數: 559
台灣台中市
| | Re: 不定方程 | | 唉......
沒啥頭緒,好難啊!!
有誰會解嗎??
幫忙一下吧......
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| 2010-09-07 04:37 | |
langmushi
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發表數: 6
| | Re: 不定方程 | | 將方程改為2x^2-y^2=8t±1
現在證明當(x,y)=(偶數,奇數)或(奇數,奇數)時原方程存在解。
已知任何奇數的平方被8除餘1。
當(x,y)=(偶數,奇數)時，2x^2-y^2≡0-1=-1 mod8
因此2x^2-y^2可以表為8t-1
當(x,y)=(奇數,奇數)時，2x^2-y^2≡2(1) -1=1 mod8
因此2x^2-y^2可以表為8t+1
綜上所述，2x^2-y^2=8t±1有解。（不管8t±1是不是質數） |
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| 2010-09-14 02:19 | |
vic526tor
Just can't stay away
註冊日: 2008-05-17
發表數: 86
| | Re: 不定方程 | | 引文:
langmushi 寫道:
將方程改為2x^2-y^2=8t±1
現在證明當(x,y)=(偶數,奇數)或(奇數,奇數)時原方程存在解。
已知任何奇數的平方被8除餘1。
當(x,y)=(偶數,奇數)時，2x^2-y^2≡0-1=-1 mod8
因此2x^2-y^2可以表為8t-1
當(x,y)=(奇數,奇數)時，2x^2-y^2≡2(1) -1=1 mod8
因此2x^2-y^2可以表為8t+1
綜上所述，2x^2-y^2=8t±1有解。（不管8t±1是不是質數）
你的解法有一點問題，你只證明了2x^2-y^2可以表為
8t±1，並沒有證明對任何形如8t±1的數都可表為2x^2-y^2 |
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| 2010-09-14 02:31 | |
zaq1bgt5cde3mju7
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台灣台中市
| | Re: 不定方程 | | 是啊,其逆定理不成立
害我期待了一下......
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| 2010-09-14 04:42 | |
langmushi
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發表數: 6
| | Re: 不定方程 | | 由於顯示問題，分兩部分
證明的第一部分：
本证明涉及到数论中的二次剩余理论的某些性质
根據二次剩餘的性質
U^2≡2 modp （其中p為質數且p≡±1 mod8 ）U
總有解。
因此設U^2=kp+2
U^2-2=kp
由此可知L^2-2N^2=Mp存在整數解（例如取L=U，N=1，M=k或者是L=tU，N=t，M=kt^2）
現在我們來證明M最小可以取到1。設M=m是使
L^2-2N^2=Mp成立的最小值且m>1。
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| 2010-11-11 21:31 | |
