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發布者內容列
s972013
Just popping in



註冊日: 2009-09-28
發表數: 7


 不定方程

如何證明不定方程式 2(X平方)=(Y平方)+(8t±1)
當為t正整數 且8t±1為質數時
必有正整數解(X,Y)

 2010-09-02 04:45個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 不定方程

不太清楚你的意思......
2(x^2)=y^2+(8t±1)必有正整數解(x,y)
是要證明兩種皆有解
還是其中一種有解??
當t為正整數,且8t±1為質數
是指兩種皆為質數
還是其中一種為質數??


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-09-03 04:49個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
s972013
Just popping in



註冊日: 2009-09-28
發表數: 7


 Re: 不定方程

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
不太清楚你的意思......
2(x^2)=y^2+(8t±1)必有正整數解(x,y)
是要證明兩種皆有解
還是其中一種有解?? 兩種皆有解
當t為正整數,且8t±1為質數
是指兩種皆為質數
還是其中一種為質數?? 其中一種為質數

也就是要證明:所有同餘1或-1(mod8)的質數p
如7,17,23,31,41,47,71...
一定存在兩個正整數(X,Y)使得 2(x^2)=y^2+p

 2010-09-04 17:26個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 不定方程

所以題目是這樣囉??


對所有形如8t+1或8t-1的質數p(t為正整數)
證明:必存在兩正整數x,y,使得2(x^2)=y^2+p


對吧??


_________________
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 2010-09-05 04:43個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 不定方程


7,17,23,31,41,47,71...

7=4*2-1
17=9*2-1
23=16*2-9
31=16*2-1
41=25*2-9
47=36*2-25
71=36*2-1


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2010-09-06 05:46個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 不定方程

唉......
沒啥頭緒,好難啊!!
有誰會解嗎??
幫忙一下吧......


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-09-07 04:37個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
langmushi
Just popping in



註冊日: 2007-11-05
發表數: 6


 Re: 不定方程

將方程改為2x^2-y^2=8t±1
現在證明當(x,y)=(偶數,奇數)或(奇數,奇數)時原方程存在解。

已知任何奇數的平方被8除餘1。

當(x,y)=(偶數,奇數)時,2x^2-y^2≡0-1=-1 mod8
因此2x^2-y^2可以表為8t-1

當(x,y)=(奇數,奇數)時,2x^2-y^2≡2(1) -1=1 mod8
因此2x^2-y^2可以表為8t+1

綜上所述,2x^2-y^2=8t±1有解。(不管8t±1是不是質數)

 2010-09-14 02:19個人資料
vic526tor
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-17
發表數: 86


 Re: 不定方程

引文:

langmushi 寫道:
將方程改為2x^2-y^2=8t±1
現在證明當(x,y)=(偶數,奇數)或(奇數,奇數)時原方程存在解。

已知任何奇數的平方被8除餘1。

當(x,y)=(偶數,奇數)時,2x^2-y^2≡0-1=-1 mod8
因此2x^2-y^2可以表為8t-1

當(x,y)=(奇數,奇數)時,2x^2-y^2≡2(1) -1=1 mod8
因此2x^2-y^2可以表為8t+1

綜上所述,2x^2-y^2=8t±1有解。(不管8t±1是不是質數)


你的解法有一點問題,你只證明了2x^2-y^2可以表為
8t±1,並沒有證明對任何形如8t±1的數都可表為2x^2-y^2

 2010-09-14 02:31個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 不定方程

是啊,其逆定理不成立
害我期待了一下......


_________________
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 2010-09-14 04:42個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
langmushi
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註冊日: 2007-11-05
發表數: 6


 Re: 不定方程

由於顯示問題,分兩部分

證明的第一部分:

本证明涉及到数论中的二次剩余理论的某些性质

根據二次剩餘的性質

U^2≡2 modp (其中p為質數且p≡±1 mod8 )U
總有解。

因此設U^2=kp+2
U^2-2=kp

由此可知L^2-2N^2=Mp存在整數解(例如取L=U,N=1,M=k或者是L=tU,N=t,M=kt^2)

現在我們來證明M最小可以取到1。設M=m是使
L^2-2N^2=Mp成立的最小值且m>1。

 2010-11-11 21:31個人資料
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