歡迎來到 財團法人台北市九章數學教育基金會
首頁Home 新聞區News 討論區Forum 檔案下載Downloads
重要公告

2023 澳洲AMC數學能力檢定


2023-2024年國際中小學數學能力檢測(IMAS)


2024小學數學世界邀請賽(PMWC 2024,香港)與2024國際小學數學競賽(InIMC 2024,印度Lucknow市)


2024青少年數學國際城市邀請賽(InIMC 2024,印度Lucknow市))


第20屆國際小學數學及自然科學奧林匹亞 (20th IMSO)數學組

第20屆國際小學數學及自然科學奧林匹亞 (20th IMSO)自然科學組


2019國際青少年數學奧林匹亞 (ITMO 2019,印度 Lucknow市)

歷史公告

澳洲AMC數學能力檢定

2022 澳洲AMC數學能力檢定

2021 澳洲AMC


國際中小學數學能力檢測(IMAS)

IMAS 2022

IMAS 2021


小學數學競賽

小學數學世界邀請賽與國際小學數學競賽

PMWC 2023與BIMC 2023

PMWC 2022與IIMC 2022

國際小學數學及自然科學奧林匹亞(IMSO)

19th IMSO

18th IMSO


中學數學競賽

青少年數學國際城市邀請賽

BIMC 2023

IIMC 2022

國際青少年數學奧林匹亞(ITMO )

ITMO 2017

ITMO 2015

國際青少年數學家會議(IYMC )

IYMC 2022

IYMC 2016

越南河內數學邀請賽(HOMC )

HOMC 2019


欲查詢其餘歷史公告,可利用首頁右側之關鍵字搜尋功能
目前並未有最新新聞!
主選單
· 回首頁
· 新聞區
· 討論區
· 檔案下載Downloads
· 網站連結
· 電子相薄
· 夥伴網站
· 精華文章
登入

帳號

密碼

遺失密碼嗎?

尚未有帳號嗎?
何不馬上註冊?
/  討論區主頁10
   /  高中
      /  不定方程
限會員
到 ( 上頁 1 | 2 )
發布者內容列
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 不定方程

這是從另一個討論區得到的答案:



似乎不用強調“正整數解”,因為x和y都是二次方。
為了配合佩爾方程的表示法,把題目的變數x、y互換,另外p是正是負也不影響證明。
命題A:“x^2-2y^2=p必有整數解,其中p為形如8t±1的質數。”




先說明三個命題,但不證明。

命題一:此從chakravala method觀察而來,若m^2-N=k1×k2,x^2-Ny^2=k1有整數解
,如果存在整數對(a,b)使得[(am+Nb)/k2]^2-N[(a+mb)/k2]^2=k1,則x^2-Ny^2=k2有
整數解(a,b)。

命題二:若x^2-Ny^2=k1和x^2-Ny^2=k2皆有解,則x^2-Ny^2=k1k2亦有解
(Brahmagupta–Fibonacci identity的應用)

命題三:m^2-2=(2^a)×q,a=0或1,q為奇質因數的乘積,且皆為形如8t±1的質數。


命題一、命題二是佩爾方程;命題三是二次剩餘。
接著進入主要證明,方法為對形如8t±1的質數做歸納法,前幾項檢驗數據就省略了。
根據二次剩餘,對任意形如8t±1的質數p,存在1≦m≦(p-1)/2使得p│m^2-2,令
m^2-2=pQ,顯然Q<P,復根據命題三,Q=(2^a)×q,q是形如
8t±1的質數乘積。
假設本題對比p小的質數都成立,則根據歸納法假設及命題二,x^2-2×y^2=Q有整數解
(U,V),不妨令U>0,V>0(因為UV≠0,證明略)。
接著看[(am+2b)/p]^2-N[(a+mb)/p]^2=Q 【式1】
而(Vm+U)/p或(Vm-U)/p其中有一個必為整數──即為b的值,又a=pV-mb,代入式1後成
立,故根據命題一,命題A證明完畢。


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-11-11 22:01個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
langmushi
Just popping in



註冊日: 2007-11-05
發表數: 6


 Re: 不定方程

證明的第二部分

設L≡a,N≡b mod m

(沒辦法顯示“大於”和“小於”符號!!)
且 -m/2(小於)a,b(小於等於)m/2 (例如m=5時,被5除的餘數0,1,2,3,4和-2,-1,0,1,2同餘)

L^2-2N^2=mp≡a^2-2b^2≡0 mod m
因此設a^2-2b^2=mc

(L^2-2N^2)(a^2-2b^2)=m^2 pc
將上式左邊乘開後進行配方(配上4LaNb)可以得到下式

(La+2Nb)^2-2(Lb+Na)^2=m^2pc,兩邊除m^2
[(La+2Nb)/m]^2-2[(Lb+Na)/m]^2=pc

由於-m/2(小於)a,b(小於等於)m/2
(m^2)/4+(m^2)/4
=(m^2)/2
(大於等於)a^2+b^2
(大於)a^2-2b^2=mc ,在不等式兩邊除m得到

m/2(大於)c ,因此還有更小的c使得
[(La+2Nb)/m]^2-2[(Lb+Na)/m]^2=pc成立,
也就是與令L^2-2N^2=mp成立的最小的m矛盾。

另外c≠0,否則代入後會推出a/b= ±√ 2,矛盾。

綜上所述,L^2-2N^2=p 對任何質數p≡±1 mod8有解。

現在來證明2x^2-y^2=p也有解。利用配方法,可將原式變形為

2x^2-y^2=(2x+y)^2-2(x+y)^2

只要令L=2x+y,N=x+y即x=L-N,y=2N-L
2x^2-y^2=p總是有解,即

2x^2=y^2+(8t±1) 當為t正整數 且8t±1為質數時
必有正整數解(x,y),證畢。



 2010-11-11 22:52個人資料
到 ( 上頁 1 | 2 )


九章數學出版社、九章數學基金會版權所有
本網頁各鍊結標題及鍊結內容歸原權利人所有
Copyright 2000 ~2004九章數學出版社、九章數學基金會
本網站內所有文字及資料版權均屬九章所有,未經書面同意之商業用途必究
This web site was made with XOOPS, a web portal system written in PHP.
XOOPS is a free software released under the GNU/GPL license.

TW XOOPS Official WebsiteFreeBSD Official WebsiteApache Official Website

Powered by XOOPS 1.3.10 © 2002 The XOOPS Project