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      /  環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷國中組試題
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孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷國中組試題

※ 每題必須詳細寫下證明及理由,只寫答案不一定有分數。

1. 有一矩形乘法表,在第i行第j列的小方格內都填入乘積ij。從表中任意截取一個m×n的矩形表格,其中m、n皆為奇數。將這個表格內部的(m-2)(n-2)矩形移除,而剩下一個寬度為1的框架。將此框架內的小方格黑白相間塗色。請證明在此框架內黑色小方格內所填的數之總和等於白色小方格內所填的數之總和。(四分)

2. 在四邊形ABCD內有一個內切圓。已知 AB=CD、AD>BC 且 BC//AD。請證明角C的平分線均分四邊形ABCD的面積。(四分)

3. 將一個1×1×1的正立方體骰子置於8×8的方格表上,骰子的底面正好與方格表的小方格吻合。骰子可以在方格表上以骰子的任一底邊為軸滾動而使骰子與底面相鄰的面滾到方格表的另一小方格上。依此方法繼續滾動骰子使它經過方格表上的每個小方格至少一次。請問是否有可能使骰子的某個面不曾與方格表接觸過?(四分)

4. 某校有超過90%的學生同時選修英文與德文,且有超過90%的學生同時選修英文與法文。請證明同時選修德文與法文的學生中,有超過90%也選修英文。
(四分)

5. 有N條弦的端點將圓分割為2N段長度都為1的弧。已知每條弦都將圓分割為兩段長度為偶數的弧,請證明N為偶數。(四分)


《成績是取最高得分三題的總和,考試時間四小時。》


_________________
孫文先 敬上

 2010-11-19 10:35個人資料傳送 Email 給 孫文先
j2006mouse
Just can't stay away



註冊日: 2008-03-14
發表數: 121
新北市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷國中組試題

3.
有可能

5.
塗色法
易證


_________________
我不是數學高手,但我愛好數學。

 2010-11-19 20:29個人資料傳送 Email 給 j2006mouse
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷國中組試題

要詳細寫出您的證明, 否則還是零分.


_________________
孫文先 敬上

 2010-11-19 21:00個人資料傳送 Email 給 孫文先
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷國中組試題

4.設同時修英德法的人數有X%
而僅同時修德法的人數有Y%
可列式:100>(90-X)+(90-X)+X+Y
(僅同時修英德和僅同時修英法的都超過(90-X)%)
10>Y
(因為光是修英文的就超過90%了)
第一個不等式可以得到X>Y+80
第二個不等式可以得到Y+80>9Y
合起來可以得到X>9Y
從而X/(X+Y)>90%
即命題獲證


這樣算詳細嗎??
另外您說我有顯然錯誤是哪一題的哪一部分??
還有第三題我也寫可以做到
但第五題我沒用塗色法


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-11-19 21:14個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷國中組試題

3.易知不管骰子在哪一格上
均不會有左右同時沒有格子或上下同時沒有格子的情況出現
所以用以下方式移動即可:
若要往水平方向移動,則先往上或下滾動一格
再往水平方向滾動到與欲到達的格子相鄰之格子停下來
最後滾一格到欲到達的格子上即可
若要往垂直方向移動,則先往左或右滾動一格
再往垂直方向滾動到與欲到達的格子相鄰之格子停下來
最後滾一格到欲到達的格子上即可
用此移動方式可以到達8x8方格表的任何一個格子
且骰子一開始的頂面就不會接觸到方格表的任一格了
故答案為可以


我的回應應該會比我在考試時的作答還要清晰,因為我重新整理過了


_________________
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 2010-11-19 21:46個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷國中組試題

5.因為這N條弦將圓分為2N段
故可知這些弦兩兩無共同端點
將這些弦的端點依序標為a1,a2,a3...a2N
其中弧an a(n+1)的長度皆為1(2N>n>0,n為正整數)
且弧a1 a2N的長度亦為1
因為每一條弦都將圓分為兩段長度為偶數的弧
所以每一條弦的兩端點必同時為 "a奇數" 點 或 "a偶數" 點
可知 "a偶數" 點有偶數個
因為2N為偶數,故 "a奇數" 點的數量= "a偶數" 點的數量
而 "a偶數" 點有偶數個,故端點的總數量2N有4的倍數個
從而N為偶數,命題獲證


您說我有顯然錯誤
該不會是因為這題我在考卷上設的端點是a1,a2,a3...an吧
但我設的是小寫n,故無錯誤,是這樣嗎??


_________________
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 2010-11-19 22:18個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷國中組試題

2.設角C的平分線交直線AD於P點
角DCP=角BCP=角CPD(內錯角相等),可得CD=PD
因為四邊形ABCD有內切圓,故四邊形ABCD為圓外切四邊形
從而AB+CD=BC+AD,又AB=CD,AD>BC
可知2AD>BC+AD=AB+CD=2CD,AD>CD
結合CD=PD,可得AD>PD,P在線段AD上
因為2PD=2CD=AB+CD=BC+AD=BC+AP+PD(P在線段AD上)
故BC+AP=PD
因為梯形ABCP的高與三角形CPD,PD上的高等長
(BC//AD,平行線間的距離處處相等)
所以梯形ABCP與三角形CPD的面積相等
即角C的平分線均分四邊形ABCD的面積
命題獲證


剩下的第一題,沒圖我就不會解釋了(我不會po圖)


_________________
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 2010-11-19 22:50個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
WENDYCHI
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註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷國中組試題

5.順時針將點分類為奇數點和偶數點
奇數點要連奇數點
又因全部的奇數點都要連
因此奇數點共有偶數個
因此N為偶數

我有搞錯題目嗎?


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2010-11-20 18:10個人資料
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷國中組試題

您必須畫出一個可行的骰子滾動路徑圖之例子,
否則答案不完整.

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
3.易知不管骰子在哪一格上
均不會有左右同時沒有格子或上下同時沒有格子的情況出現
所以用以下方式移動即可:
若要往水平方向移動,則先往上或下滾動一格
再往水平方向滾動到與欲到達的格子相鄰之格子停下來
最後滾一格到欲到達的格子上即可
若要往垂直方向移動,則先往左或右滾動一格
再往垂直方向滾動到與欲到達的格子相鄰之格子停下來
最後滾一格到欲到達的格子上即可
用此移動方式可以到達8x8方格表的任何一個格子
且骰子一開始的頂面就不會接觸到方格表的任一格了
故答案為可以


我的回應應該會比我在考試時的作答還要清晰,因為我重新整理過了


_________________
孫文先 敬上

 2010-11-21 10:11個人資料傳送 Email 給 孫文先
zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷國中組試題

不過我想敘述就已表達如何滾動了吧
為何一定要加圖呢??如果是這樣
那麼請恕我不會po圖,而且也不太會畫立體的
移動方法其實就像這樣:
欲往下移動6格,則這樣滾
右1下6左1(如果右邊沒有格子就左1下6右1)
欲往右移動2格,則這樣滾
上1右2下1(如果上面沒有格子就下1右2上1)
這樣應該就更清楚了


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-11-21 18:06個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
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