歡迎來到 財團法人台北市九章數學教育基金會
首頁 新聞區 討論區 檔案下載
重要公告

2018 澳洲AMC數學能力檢定


2018年國際中小學數學能力檢測(IMAS)


第21屆小學數學世界邀請賽(PMWC 2018,香港)與2018國際小學數學競賽(BIMC 2018,保加利亞Burgas市)


2018青少年數學國際城市邀請賽(BIMC 2018,保加利亞Burgas市))

歷史公告

澳洲AMC數學能力檢定

2017 澳洲AMC

2016 澳洲AMC


國際中小學數學能力檢測(IMAS)

IMAS 2017

IMAS 2016


小學數學競賽

小學數學世界邀請賽與國際小學數學競賽

PMWC 2018與BIMC 2018

PMWC 2017與InIMC 2017

國際小學數學及自然科學奧林匹亞(IMSO)

IMSO 2018

IMSO 2017


中學數學競賽

青少年數學國際城市邀請賽

BIMC 2018

InIMC 2017

國際青少年數學奧林匹亞(ITMO )

ITMO 2017

ITMO 2015

國際青少年數學家會議(IYMC )

IYMC 2016


欲查詢其餘歷史公告,可利用首頁右側之關鍵字搜尋功能
目前並未有最新新聞!
主選單
· 回首頁
· 新聞區
· 討論區
· 檔案下載
· 網站連結
· 電子相薄
· 夥伴網站
· 精華文章
/  討論區主頁10
   /  國中
      /  環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題
限會員
到 ( 1 | 2 下頁 )
發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

※ 每題必須詳細寫下證明及理由,只寫答案不一定有分數。

1. 有一台兌換機可將L國幣1元兌換成M國幣S元,亦可將M國幣1元兌換成L國幣1/S 元,其中S是正實數。兌換機吐出的金額採四捨五入至整數元。
(a) 用此機器將若干L國幣兌換成M國幣,再將所換到的M國幣全部換回L國幣。請問經過一次上述兌換後,最後所得的L國幣是否有可能比原來的錢多?(二分)
(b) 假設上述的答案為「可能」,將手中所有的錢幣不斷地全部一起反覆兌換。請問所得的錢是否有可能會不斷地增多?(三分)

2. 有一個凸四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直,且其相交於點O。已知三角形AOB、三角形COD的內切圓半徑之和等於三角形BOC、三角形DOA的內切圓半徑之和。
(a) 請證明四邊形ABCD有內切圓。(二分)
(b) 請證明四邊形ABCD對稱於其中一條對角線。(三分)

3. 一座警察局位於兩端都可無限延伸僅有的一條直線公路上,一位小偷從警察局偷了一輛汽車。這輛汽車的最大速度等於巡邏警車最大速度的90%。當大家發現車子被偷了,一位警察打算開巡邏警車去緝捕這位小偷,但他不知道小偷沿著公路朝哪個方向逃跑。請問警察是否有數學的策略保證能緝捕到小偷?請詳述您的理由。(註:此題純為數學問題,不考慮小偷何時偷車、油料多寡、人的壽命、….等各項因素)(五分)

4. 將一塊大正方形木板以n-1條水平線與n-1條鉛垂線劃分為 個小矩形。將這些小矩形格子黑白相間塗色。若此大正方形的某一對角線恰好通過n個黑色的正方形。請證明所有黑色的小格子之總面積不小於所有白色小格子之總面積。(五分)

5. 有一項競賽共有55位參賽者,每場比賽都由兩位選手配對進行淘汰賽,且一場賽完後才接著賽下一場,輸者立即被淘汰出局。每場比賽中,兩位配對的選手截至此場比賽前之勝局數量之差都不得超過1局。請問此競賽中的獲得冠軍之選手最多共可贏多少局?(五分)


《成績是取最高得分三題的總和,考試時間四小時。》


_________________
孫文先 敬上

 2010-11-19 10:39個人資料傳送 Email 給 孫文先
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

第三題至少有六人答: 地球是圓的, 所以可能.
用腦筋急轉彎方式來解數學題不僅無益反而有害.
熱愛數學的學生不應該如此輕蔑.


_________________
孫文先 敬上

 2010-11-19 21:06個人資料傳送 Email 給 孫文先
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

第一題的兌率可以是1.99999...嗎?


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2010-11-19 22:33個人資料
wade1537
Just can't stay away



註冊日: 2010-01-20
發表數: 84


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

第3題說的不考慮小偷偷車的時間,那是指時間點,還是指小偷比警察早走的時間?


_________________
我不是數學高手,但我對數學有濃厚的興趣,

若想法錯誤,還請高手見諒並指點之。

 2010-11-20 08:47個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

1.(a)假設S=2/3
那麼一開始將3/2元的L國幣投入兌換機,可得1元M國幣
再將此1元M國幣投入兌換機,可得2元的L國幣
最後所得的L國幣比原來的還多(2>3/2),故答案為可能


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-11-20 21:24個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題


S=1/2不是較簡單.

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
1.(a)假設S=2/3
那麼一開始將3/2元的L國幣投入兌換機,可得1元M國幣
再將此1元M國幣投入兌換機,可得2元的L國幣
最後所得的L國幣比原來的還多(2>3/2),故答案為可能


_________________
孫文先 敬上

 2010-11-21 10:16個人資料傳送 Email 給 孫文先
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

當然是指小偷比警察早走的時間.


引文:

wade1537 寫道:
第3題說的不考慮小偷偷車的時間,那是指時間點,還是指小偷比警察早走的時間?


_________________
孫文先 敬上

 2010-11-21 10:18個人資料傳送 Email 給 孫文先
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

S當然可以任意自訂.

引文:

WENDYCHI 寫道:
第一題的兌率可以是1.99999...嗎?


_________________
孫文先 敬上

 2010-11-21 10:19個人資料傳送 Email 給 孫文先
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

也是啦,不過我的原想法為:
取S和投入的L國幣金額x互為倒數
這樣最後出來的即是將x四捨五入的L國幣金額
故隨便取一個會進入而非捨去的數1.5,即x=3/2,而S=2/3


另外,圓外切四邊形的逆定理是否成立??

引文:
S=1/2不是較簡單.
引文:


zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
1.(a)假設S=2/3
那麼一開始將3/2元的L國幣投入兌換機,可得1元M國幣
再將此1元M國幣投入兌換機,可得2元的L國幣
最後所得的L國幣比原來的還多(2>3/2),故答案為可能


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-11-21 18:22個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽初級卷高中組試題

第一題的(b)好難
第5題雖然還沒算,但我想應該跟55=1+2+3+...10有關


2.由直角三角形內切圓的半徑=(兩股和-斜邊)/2
可根據題意列式:
(AO+BO-AB)/2 + (CO+DO-CD)/2=(BO+CO-BC)/2 + (AO+DO-AD)/2
整理可得AB+CD=BC+AD------(1)
AB^2 + CD^2=(AO^2 + BO^2)+(CO^2 + DO^2)=
(BO^2 + CO^2)+(AO^2 + DO^2)=BC^2 + AD^2------(2)
[(1)^2 - (2)]/2 => ABxCD=BCxAD
設AB+CD=BC+AD=p,ABxCD=BCxAD=q
則AB,CD和BC,AD的長度皆為x^2-px+q=0的兩根
可知AB=BC,CD=AD或AB=AD,CD=BC
從而四邊形ABCD為箏形,故(a),(b)皆獲證


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-11-21 23:39個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
到 ( 1 | 2 下頁 )


九章數學出版社、九章數學基金會版權所有
本網頁各鍊結標題及鍊結內容歸原權利人所有
Copyright 2000 ~2004九章數學出版社、九章數學基金會
本網站內所有文字及資料版權均屬九章所有,未經書面同意之商業用途必究
This web site was made with XOOPS, a web portal system written in PHP.
XOOPS is a free software released under the GNU/GPL license.

TW XOOPS Official WebsiteFreeBSD Official WebsiteApache Official Website

Powered by XOOPS 1.3.10 © 2002 The XOOPS Project