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      /  環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷初中組試題
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孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷初中組試題

※ 每題必須詳細寫下證明及理由,只寫答案不一定有分數。

1. 用一個圓形硬幣可以畫出通過平面上給定的一個點或二個點的圓。現給定平面上一條直線,請問如何運用此硬幣構造出兩個點,使得這兩個點的連線垂直此給定的直線?請注意:用此硬幣無法做出與給定直線相切的圓。(四分)
2. 小皮有一個特殊的製圖工具,可以標出任何一個線段的中點,也可以在此線段內標出一個點,使得這個點將此線段分為長度比為n : n+1的兩條小線段,其中n為任意正整數。小皮宣稱運用此工具可以在任何一條線段內標出一個點,使得這個點將此線段分為長度比為p : q的兩條小線段,其中p、q為任意正整數。請問小皮的話是否為真?(五分)
3. 在一個圓形跑道上,10位自行車選手同時從同一點同向以不同的均勻速度出發。若兩位自行車選手在同時刻再度位於同地點,則稱之為「相遇」。已知沒有三位或三位以上的自行車選手同時刻相遇在同一點。任兩位自行車選手都至少再相遇過一次,請證明在最後一對選手第一次相遇之際,每位自行車選手與其他選手相遇次數之總和至少25次。(八分)
4. 一個大矩形可分割為許多1×2或2×1的小矩形。在每個小矩形內各劃上一條對角線,使得沒有任何兩條對角線有共同的端點。請證明這個大矩形恰只有二個頂點是這些對角線的端點。(八分)
5. 任意給定一個五邊形,將每一個邊長除以其他四個邊長之總和,再將所得之所有分數值相加,請證明所得之和小於2。(八分)
6. 在銳角三角形ABC的高AH上任選一點P。令點E與F分別為邊CA與AB的中點。從點E與F分別作直線CP與BP的垂線,且此兩垂線交於點K。請證明KB=KC。(八分)
7. 亞瑟王的助手梅林召集n位騎士開會,每一天他都安排這些騎士圍坐在有n個的座位之圓桌開會。第k(k≧2)天時,梅林安排這些騎士就坐後,騎士可進行以下操作:圓桌之任意兩位鄰座的騎士,若在第一天沒有相鄰而坐,則他們可以互相交換座位。同一天內他們可以操作任意多次,並將曾經出現過的環形座位順序記錄下來。騎士們試圖使得他們的環形座位順序在之前的記錄中曾經出現過,若出現此情況,他們就可以終止會議,否則會議必須繼續。梅林欲使會議召開天數越多越好,請問梅林可以保證召開多少天會議? (註:騎士的座位順時針旋轉視為其環形座位順序相同。)(十二分)


_________________
孫文先 敬上

 2010-11-28 15:28個人資料傳送 Email 給 孫文先
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷初中組試題

高級卷難爆了!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
只會兩題.........................................
兩題寫完後剩下的四小時多只能猛盯題目,靈感也沒爆出來!!...


1.在給定的直線L上任取相異三點A,B,C(B在AC上)
用圓形硬幣過A,B作兩圓P,Q,過B,C作兩圓R,S
其中P,R在L的同側,P,Q在L的異側,R,S在L的異側
若圓P交圓R異於B的一點M,圓Q交圓S異於B的一點N
那麼M,N即為所求
證明:顯然M,N是以L為對稱軸的兩對稱點,故MN垂直L


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-11-28 19:20個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷初中組試題

烏烏 你的證法有問題
硬幣不一定能過A B作圓

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
高級卷難爆了!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
只會兩題.........................................
兩題寫完後剩下的四小時多只能猛盯題目,靈感也沒爆出來!!...


1.在給定的直線L上任取相異三點A,B,C(B在AC上)
用圓形硬幣過A,B作兩圓P,Q,過B,C作兩圓R,S
其中P,R在L的同側,P,Q在L的異側,R,S在L的異側
若圓P交圓R異於B的一點M,圓Q交圓S異於B的一點N
那麼M,N即為所求
證明:顯然M,N是以L為對稱軸的兩對稱點,故MN垂直L



第二題證明步驟
(1)將分母偶數歸納為分母奇數
(2)證明1/(P+Q)成立
(3)證明一般情況成立
明天再打

第三題也有證明 不過要付圖比較易懂
第七題答案好像是N-1還N的樣子
第四、五題臨門一腳


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2010-11-28 22:27個人資料
wanghp
Quite a regular



註冊日: 2006-09-10
發表數: 42


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷初中組試題

引文:

WENDYCHI 寫道:
烏烏 你的證法有問題
硬幣不一定能過A B作圓



直接過圓上一點畫圓 會交直線於另一點
再過這個點畫一個圓 會交出另外第三個點

反正就用這三個去畫了



第二題 對 p+q=k 作第二數學歸納法

顯然 p+q=1 及 p+q =2 都是容易的

假設對所有 <n 的 k 都可以做出的話
考慮 k=n 的情形

若 k 是偶數 則作 A, B兩點的中點 M
  原本 p=q 的話 M 即為所求
  p<q 的話 原題變成求 AM之間的 p : q-(p+q)/2
   p + [q-(p+q)/2] < k 依歸納法成立
  p>q 同理

若 k 是奇數 則作 (k+1)/2 : (k-1)/2 得 N
  原本 p=q+1 的話 N 即為所求
  p<q+1 則作 AN 之間的 p : q-(p+q+1)/2
  p>q+1 則作 NB 之間的 p-(p+q+1)/2 : q
   兩者都因歸納法成立

故得證


_________________
Simple

 2010-11-29 16:00個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷初中組試題

第三題我有搞錯題意嗎??
它說的"再度位於同一點"的點是指起點還是兩人在同一位置??
有人說是在同一位置的意思(我國語爛...)

第二題有人寫了,我就不寫了
第五題的上限我只有算到3.5


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-11-29 21:27個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
h5795901
Just popping in



註冊日: 2009-09-07
發表數: 5


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷初中組試題

第一題
反正用等圓作出對稱點就對了,我的方法是用了4個圓

第二題
任何一個線段的中點,相當於把偶數對分;分為長度比為n : n+1的兩條小線段,相當於打一奇數分成兩數a,b,且a,b之差為1
因對所有偶數對分可能的情形只有兩種:若是兩個偶數則在對分,若是兩個奇數,將其拆分成兩個差為1的數。因1=a+b=0+1,而對所有奇數可表示為1+2K,即1+2k=a+b=(0+k)+(1+k)
故對所有長度比p:q,可經由有限次操作將線段分成p+q條等長的線段,即得到p:q的線段長

第三、四題先省...

第五題跟高級卷某題很像,其實推的過去
題目要求的比值跟1去減,再用三角形兩邊和大於第三邊就出來了
設五邊形五邊長為a,b,c,d,e
e/(a+b+c+d) - e/(a+b+c+d+e) = e^2/(a+b+c+d+e)(a+b+c+d) 其餘同理
可得e^2/(a+b+c+d) + ......(a,b,c,d,e為輪換輪) < a+b+c+d+e
從三角形邊長關係可得e^2/(a+b+c+d) < e
進而命題得證

第六題
剛看完題目整個呆掉,k點是動點耶,在B,C中垂線上。想了好久,乾脆直接移到直角座標係,用解析幾合去帶,結果居然能證的出來@@

第七題
這題省略....


這是我想到的啦∼當然考試沒寫那麼多
還有很多遺漏的部分,大家給點指導吧!
第六題還有什麼方法嘛?

 2010-11-29 23:26個人資料
wanghp
Quite a regular



註冊日: 2006-09-10
發表數: 42


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷初中組試題

引文:

h5795901 寫道:


第五題跟高級卷某題很像,其實推的過去
題目要求的比值跟1去減,再用三角形兩邊和大於第三邊就出來了
設五邊形五邊長為a,b,c,d,e
e/(a+b+c+d) - e/(a+b+c+d+e) = e^2/(a+b+c+d+e)(a+b+c+d) 其餘同理
可得e^2/(a+b+c+d) + ......(a,b,c,d,e為輪換輪) < a+b+c+d+e
從三角形邊長關係可得e^2/(a+b+c+d) < e
進而命題得證





直接點下面連結比較快

假設 a_0 最大 且 S 是邊長的總和

方程式點我


請特別注意足標跟求和的上下限


_________________
Simple

 2010-11-29 23:38個人資料
wanghp
Quite a regular



註冊日: 2006-09-10
發表數: 42


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷初中組試題

引文:

h5795901 寫道:

第六題
剛看完題目整個呆掉,k點是動點耶,在B,C中垂線上。想了好久,乾脆直接移到直角座標係,用解析幾合去帶,結果居然能證的出來@@




這一題不要把 P 當動點 應該要把 A 當動點

家裡有 GSP 或是 Geogebra 的自己畫畫看就知道了


首先假設 A 跟 P 重合的話... K 點顯然是三個中垂線的交點、PBC 的外心

如果偷偷把 A 往上拉....... 那 EF 也會往上相同的距離 (中點...所以往上一半的距離)


又 PB, PC 方向不變( P 沒動) 所以兩垂線方向不變

加上它們的「起始點」 (我指的是 E 和 F )往上移動相同的距離


所以K 也只會偷偷往上移動相同的距離



除此之外有個拿 A 把兩條垂線放大兩倍的方法

不過基本上意思是一樣的

就是證明 K 和剛剛所謂的「外心」連線平行 AH ...... 意即, 擁有相同的 x坐標(如果你圖的方向跟我一樣的話

這個「外心」也可以是某個你畫出來的點 但總之是一個定點(不然很難求它的位置


_________________
Simple

 2010-11-30 00:07個人資料
wanghp
Quite a regular



註冊日: 2006-09-10
發表數: 42


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷初中組試題

引文:

WENDYCHI 寫道:

第七題答案好像是N-1還N的樣子




幾乎是了

證明上限的方法是

假設梅林第一天為每一個騎士做了名牌

名牌就按照騎士(第一天)的座位順序排序


每一天開會之前(騎士換好位子之後)

他會順時針繞著圓桌 按照名牌的順序發到騎士的位子上

從第一位騎士的位子開始發最後再走回這個位子

注意:他只能順時針繞著圓桌 並且必須按照騎士第一天的座位順序發放名牌

所以她很可能繞不只一圈 但總之是整數圈


For example,

第一天的順序是 A, B, C, D, E

梅林從 A 開始

A! => B! => C! => D! =>E! =>A

(驚歎號代表她在這個地方發了名牌 所以最後一個 A 沒有驚歎號 剛好發完就走完一圈


假設第二天的順序是 A, C, E, D, B

梅林一樣從 A 開始

A! => C => E => D => B! => A => C! => E => D! => B => A =>C => E! => D => B => A

走了三圈 (因為一共出現 4 次 A)


重要的來了!!!

我們說梅林每一天因為發放名牌而繞的圈數是一個不變量(在騎士的換位子變換之下)

也就是說

如果某兩天梅林繞的圈數是不一樣多的 騎士就不能換成相同的位子

反之 如果某一天梅林安排的位子讓圈數跟之前重複了 騎士就可以換到跟之前一樣




首先證明可以開至少 n 天的會

(從繞 1 圈到繞 n-1 圈 共有 n-1 , 第 n 天就當聚餐吧)

我們定義「距離」D_i

是梅林從第 i-1 個人走到第 i 個人需要繞幾圈(方向是順時針)

當然這個數不會超過 1

所以我們就可以得到

梅林某一天需要繞的圈數 = D_1 + D_2 + D_3 + ... + D_n


現在考慮 第 i 個人跟 第 j 個人偷偷換位子

我們知道 | i-j | ≠ 1

所以 D_i + D_{i+1} 不變 (梅林從第 i-1 個人走到第 i+1 個人的距離不變)

這是因為第 i 個人只是在 第 i-1 個人 和 i+1 個人 之間偷偷移動一下

所以剛剛那兩個距離一個增加一點點 一個減少一點點 (取決於那個騎士的屁股有多大)


同理 D_j + D_{j+1} 不變



所以!!!

梅林某一天需要繞的圈數 = D_1 + D_2 + D_3 + ... + D_n 不變

這就完成了證明




證明不能超過 n 天比較麻煩

但總之就是想辦法挪動騎士的屁股


例如可以每天都座成

k, k-1, k-2, k-3, ..., 4, 3, 2, 1, k+1, k+2, k+3, ..., n-2, n-1, n

這樣梅林總共要繞 k 圈



_________________
Simple

 2010-11-30 00:41個人資料
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷初中組試題

是n嗎?
我怎麼算都是3天呀! (包含終止會議那天)


算了,先喝一杯吧


_________________
去吧!神奇數學球!
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字塔
也應該
要有進步
的這一天吧
今天我就讓他
徹徹底底進化吧
二零一二零九二九
二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2010-11-30 16:50個人資料
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