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      /  環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題
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孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題

※ 每題必須詳細寫下證明及理由,只寫答案不一定有分數。
1. 平面上有A1, A2, …., A100 一百個點,丈量出這些點兩兩之間的距離,並在紙上記錄出所有4950個距離D(Ai, Aj)=dij。
(a) 僅有一個記錄D(A1, A2)=d12被擦除。請問利用剩下來的資料是否保證可以正確地重新填回這個資料?(二分)
(b) 假設任意三點不在同一直線上,其中有k個記錄被擦除,請問保證可以正確地重新填回所有資料的最大k值是什麼?(三分)
2. 在一個圓形跑道上,2n位自行車選手同時從同一點同向以不同的均勻速度出發。若兩位自行車選手在同時刻再度位於同地點,則稱之為「相遇」。已知沒有三位或三位以上的自行車選手同時刻相遇在同一點。任兩位自行車選手都至少再相遇過一次,請證明在最後一對選手第一次相遇之際,每位自行車選手與其他選手相遇次數之總和至少 次。(六分)
3. 任意給定一個多邊形,將每一個邊長除以其他所有邊長之總和,再將所得之所有分數值相加,請證明所得之和小於2。(六分)
4. 兩位魔法師在海平面上方100公尺處互相鬥智。他們輪流施行咒語,而每次咒語之形式都如:「將我的高度降a公尺並將我的對手的高度降b公尺。」其中a、b為實數且b>a>0,不同的咒語有不同的a與b值。兩人所採用咒語的集合相同,這些咒語可用任何順序施行,且同一咒語可施行許多次。如果施行完某個咒語後,能使他自己仍保持在水面之上方而他的對手則在水面之下方,便稱這一位魔法師獲勝。
(a) 請問是否存在一組咒語之數量為有限多個的集合,使得後手的魔法師保證有策略可以獲勝?(二分)
(b) 請問是否存在一組咒語之數量為無限多個的集合,使得後手的魔法師保證有策略可以獲勝?(五分)
5. 四邊形ABCD內接於圓O,其對角線AC與BD均不通過圓心O。假設三角形AOC外接圓的圓心落在直線BD上,請證明三角形BOD之外接圓的圓心落在直線AC上。(八分)
6. 在1000×1000方格表的每個小方格內都填入一個0或1。請證明我們保證可以從此方格表中找到10列,使得這10列中的每一行都至少有一個小方格內的數是1;或者可以找到10行,使得這10行中的每一列中都至少有一個小方格內的數是0。(十二分)
7. 將一個正方形切為若干個全等的矩形,這些矩形的邊長都是整數。一個矩形若與正方形由左上至右下的對角線至少有一個交點,則我們稱此矩形為「核心矩形」。請證明這條對角線平分這些「核心矩形」的總面積。(十四分)
《成績是取最高得分三題的總和,考試時間五小時。》


_________________
孫文先 敬上

 2010-11-28 15:29個人資料傳送 Email 給 孫文先
ricktu
Home away from home



註冊日: 2009-08-23
發表數: 179
台北市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題

1.(a)
將A3~A100排在同一直線上,A1和A2在直線外
這樣可以填回資料嗎?


觀察到2個現象(未證明):
1.若一個點與n個於同一直線上的固定的點連接(n>1),則該點有2種可能的位置(該點不在其他點的直線上)
2.若一個點與3個不在同一直線上的固定的點連接,則該點也是固定的
("連接"是指有記錄該兩點間的距離)


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01010010011010010110001101101011001000000101010001110101

 2010-11-29 20:51個人資料
santion1
Just popping in



註冊日: 2008-02-20
發表數: 5


 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題

關於第一題我自己倒是有想法

我們先將A1標出來
知道A1A2距離可以標出A2
(因為所有100個點可以以A1為圓心做旋轉)
但要標出A3 必須知道A1A3及A2A3距離
(因為可以以A1A2為對稱軸將100個點置換)
從此之後 方面完全確定
所以標出A4~A100都需要任意三個點做圓去確定其位置

故最少需要
A1A2(求A2點)+A1A3;A2A3(求A3點)+97X3(剩下A4~A100)

也就是1+2+3X97=294組資料

但是我在作答時似乎寫錯了= =
不知道我現在的想法對不對

 2010-11-30 18:02個人資料傳送 Email 給 santion1
ricktu
Home away from home



註冊日: 2009-08-23
發表數: 179
台北市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題

最少需要294組資料?
但並不是只要294組資料就可保證填回所有資料阿
有時即使4853組資料都不能填回所有資料

1.(b)
k=97不行
反例:把與同一個點連接的97條線(資料)拿掉,它只連接著兩條線,就有兩種可能的位置


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 2010-11-30 21:55個人資料
ricktu
Home away from home



註冊日: 2009-08-23
發表數: 179
台北市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題

k=96好像可以
昨天想到一個方法,不知道對不對:
這100個點中一定有3個互相連線的點,這3點的相對位置是固定的(之後的"固定"都是指相對於這3點)
剩下的97個點中,必有1個點與已知固定的3個點各連一條線,這個點也是固定的
剩下的96個點中,必有48個點都與已知固定的4個點至少連3條線,這48個點也是固定的
剩下的48個點中,必有47個點都與已知固定的52個點至少連3條線,這47個點也是固定的
剩下的1個點一定與已知固定的99個點至少連3條線,這個點也是固定的


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 2010-12-02 22:07個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題

第二題那個應該是n^2次,解決了(原來我又搞錯題意了...)
(當然初中高級卷的第三題也解決了)
首先設他們的速率分別為a1,a2,a3...a2n
其中a2n>=...>=a3>=a2>=a1
其中最後一對相遇的選手設其速率差為1公尺/秒
設圓形跑道長x公尺,那麼最後一對選手相遇之際
速率ap的與速率aq的已相遇 (x/1)/[x/(ap-aq)]
的整數部分=ap-aq 的整數部分次了(p>q)
而顯然最後一對相遇的選手速率差要為最小(1公尺/秒)
否則就不是最後一對了(速率差最小的最久追滿一圈)
故ap與aq的速率差恆大於等於p與q的差
即最後一對選手相遇之際
速率ap的與速率aq的已相遇p-q次以上(p-q為正整數)
再來就列式解決


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-12-02 22:43個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 環球城市數學競賽2010秋季賽高級卷高中組試題

終於回到家了...
第五題在坐高鐵去台北聽演講的時候解掉了
蕭教授問的2^k階至少k+2次的那個在坐高鐵回台中時也解掉了


第五題:
我用我們老師補充的東西解掉了
我們老師的補充:任意三角形外接圓的直徑等於任兩邊乘積除以第三邊上的高
設三角形AOC,AC上的高為OM(M在AC上),外心為P
三角形BOD,BD上的高為ON(N在BD上),外心為Q
而OA=OB=OC=OD,故O,M,P三點共線,O,N,Q三點也共線
且三角形AOC與BOD的外接圓半徑比等於ON:OM
即OP:OQ=ON:OM,而P在直線BD上
故只當Q在直線AC上時,滿足OP:OQ=ON:OM
(以AA相似性質證,且Q不能在以N為端點的ON延長線上)
即命題獲證


蕭教授的問題還是需要當面講比較清楚
但基本上用數歸很容易就解決了
搭配逆向操作,分成小三角形在上面,左下,右下三個大三角形三種情況討論


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 2010-12-04 20:58個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7


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