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      /  環球城市數學競賽2003秋季賽國中組高級卷第一題
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發布者內容列
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 環球城市數學競賽2003秋季賽國中組高級卷第一題

1.一個有100項的等差數列,它的每一項都是大於1的正整數。請問它們各項之間是否可能兩兩都互質?(四分)(如果能,請將這個數列寫出;如果不能,請證明無論如何都不能達成。)


_________________
孫文先 敬上

 2003-12-05 15:45個人資料傳送 Email 給 孫文先
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2003秋季賽國中組高級卷第一題

我不是很確定孫教授所說的兩兩,是兩個相鄰的數還是此100數中的任意2數,在情況不明的情形下很難作答阿,請孫教授告訴我,謝謝

 2004-01-16 12:29
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2003秋季賽國中組高級卷第一題

「這五個人兩兩不相識」,您認為是什麼情況?
孫文先敬上

 2004-01-16 13:29
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2003秋季賽國中組高級卷第一題

不可能
嘗試用3整除判斷之

 2004-01-16 13:33
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2003秋季賽國中組高級卷第一題

您還是誤解了!五個人兩兩互不相識的意思是說:
A不認識BCDE;且B不認識ACDE;且C不認識ABDE;且D不認識ABCE;且E不認識ABCD。
因此原題的意思是任兩個數都是互質的。
孫文先敬上

 2004-01-16 20:04
galois5
Just can't stay away



註冊日: 2003-11-08
發表數: 86


 Re: 環球城市數學競賽2003秋季賽國中組高級卷第一題

好像跟證明"質數無限多"是類似的方法:
1. 令 P_k 是第 k 個質數
2. 公差 d = 前100個質數的積 (只是要包含1,2,...,100的所有因數,所以25個也可;階乘亦可)
3. A_1 = d+1, A_n = nd+1

當 x 大於 y ,皆是介於0到99的整數時,由
gcd(xd+1,yd+1) = gcd((x-y)d,yd+1)
而 (x-y)d 的因數一定是前100個質數範圍內,
但 yd+1 和前100個質數皆互質,
所以此數列是存在的。

 2004-01-17 00:07個人資料
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2003秋季賽國中組高級卷第一題

非常好,本題有釵h構造的例子,除了構造的例子您還要證明所構造的例子是正確的,否則只有3/7的分數。
孫文先敬上

 2004-01-17 08:57


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