從 1.2. 點可以看出你的經驗不是很多 因為事實上 證明完 4 前面就很簡單了
Wiki 有 點我
不過它沒有對證明內容敘述得很詳細 我可以試著解釋給你聽 (但是這不是「正確」的證明)
首先你的圖形不能是「凹的」 不然就像 Wiki 裡的圖片 我把它「翻出去」面積就更大了
再來 我從任意點 A 開始 ... 沿著邊邊走「一半」的周長 走到 B 所以 A 和 B 是「搖搖相望的兩個點」 連接 AB 把整個圖形切成兩半
這兩半可能有某一邊比較大 我就用比較大的那一邊取代比較小的那一邊 (用鏡子翻過去的意思)
這是因為 弧AB 跟 弧BA 一樣長 所以翻過去之後面積不變 現在我們有了一個對稱的圖形 我在左邊選一個點 C 然後把 C 反射到 D 那 角ACB 應該要跟 角ADB 一樣吧 畢竟它們是對稱的
可是這個角不一定是直角 如果不是 我們就可以偷偷把它「壓」成直角 其中 AC CB BD DA 四條邊旁邊的「弓形」要保持不變
妳會發現 既然弓形保持不變 它的面積就不會改變 面積改變的地方是中間那個「箏形」 它變大了! 這是因為 AC 跟 CB 長度不變 於是面積取決於它們夾的角 而直角會讓他最大!
所以我們就得出 如果這個圖形的面積要是最大的 它一定「到處都是直角」才對 沒錯 這個形狀就是「圓」
證明完畢(假裝)
現在來講 1.2.3. 同樣用反證法
假設你畫出了一個多邊形 邊長分別是 a, b, c, d, ... 那麼我可以適當的選擇一個圓 並在上面畫出以這些邊為邊長的多邊形
意思就是圓上有 A, B, C, D, ....... 這些點 AB = a BC = b CD = c 依此類推
然後我們用剛剛那個「壓來壓去」的做法 保持AB, BC, CD 旁邊的弓形不要變 偷偷把 A, B, C, D ... 壓成你心目中的那個形狀
可是你會發現 如果你再回頭看原本的圓的圓周所圍出來的面積 因為圓周已經被妳扭得亂七八糟了 自然它的面積會變得比原來那個圓小 可是弓形的面積不會變啊
所以 代表你的多邊形的面積變小了 如果你要多邊形的面積最大 那它的各個頂點就非在圓周上不可
現在來證明為什麼要是「正」的 考慮相鄰的三個點 ABC
假如我現在偷偷移動 B 只有三角形 ABC 的面積會改變 其它部份不會 而三角形 ABC 的面積什麼時候最大呢(在圓上) 當然就是形成等腰三角形的時候 因為那個時候它的高最高
所以 弧AB = 弧BC 同樣的道理 所有的弧都會一樣大 那他就非得是正多邊形不可了!
(我打得好累) = = _________________ Simple
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