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      /  固定的周長,面積誰最大?
限會員
發布者內容列
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 固定的周長,面積誰最大?

我想請問大家四個問題,前提都是周長一模一樣
1.三角形內,誰面積最大?
(我只求出等腰直角三角形比正三角形小)
2.四邊形內,誰面積最大
(我只求出正方形比長方形大)
3.N邊形內,是否是正N邊形面積最大?(我猜是啦)
4.所有形狀內,那種形面積最大?
(我知道是圓形,但是:Why? )

--------------------------------------------------------------------------------
我不知道該放在哪一區,不過還是放在這了
這裡的「高手」好像很多


_________________
去吧!神奇數學球!
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也應該
要有進步
的這一天吧
今天我就讓他
徹徹底底進化吧
二零一二零九二九
二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2010-12-07 21:56個人資料
d22538366
Home away from home



註冊日: 2010-12-25
發表數: 176


 Re: 固定的周長,面積誰最大?

可參考等周問題
蔡宗熹寫的
書中有回答你的問題

 2011-01-22 17:28個人資料傳送 Email 給 d22538366
wanghp
Quite a regular



註冊日: 2006-09-10
發表數: 42


 Re: 固定的周長,面積誰最大?

從 1.2. 點可以看出你的經驗不是很多
因為事實上 證明完 4 前面就很簡單了

Wiki 有
點我

不過它沒有對證明內容敘述得很詳細
我可以試著解釋給你聽
(但是這不是「正確」的證明)

首先你的圖形不能是「凹的」
不然就像 Wiki 裡的圖片
我把它「翻出去」面積就更大了

再來
我從任意點 A 開始 ... 沿著邊邊走「一半」的周長 走到 B
所以 A 和 B 是「搖搖相望的兩個點」
連接 AB 把整個圖形切成兩半

這兩半可能有某一邊比較大
我就用比較大的那一邊取代比較小的那一邊
(用鏡子翻過去的意思)

這是因為 弧AB 跟 弧BA 一樣長 所以翻過去之後面積不變
現在我們有了一個對稱的圖形
我在左邊選一個點 C 然後把 C 反射到 D
那 角ACB 應該要跟 角ADB 一樣吧 畢竟它們是對稱的

可是這個角不一定是直角 如果不是
我們就可以偷偷把它「壓」成直角
其中 AC CB BD DA 四條邊旁邊的「弓形」要保持不變

妳會發現 既然弓形保持不變 它的面積就不會改變
面積改變的地方是中間那個「箏形」 它變大了!
這是因為 AC 跟 CB 長度不變 於是面積取決於它們夾的角
而直角會讓他最大!

所以我們就得出
如果這個圖形的面積要是最大的
它一定「到處都是直角」才對
沒錯
這個形狀就是「圓」

證明完畢(假裝)



現在來講 1.2.3.
同樣用反證法

假設你畫出了一個多邊形 邊長分別是 a, b, c, d, ...
那麼我可以適當的選擇一個圓 並在上面畫出以這些邊為邊長的多邊形

意思就是圓上有 A, B, C, D, ....... 這些點
AB = a
BC = b
CD = c
依此類推

然後我們用剛剛那個「壓來壓去」的做法
保持AB, BC, CD 旁邊的弓形不要變
偷偷把 A, B, C, D ... 壓成你心目中的那個形狀

可是你會發現 如果你再回頭看原本的圓的圓周所圍出來的面積
因為圓周已經被妳扭得亂七八糟了
自然它的面積會變得比原來那個圓小
可是弓形的面積不會變啊

所以
代表你的多邊形的面積變小了
如果你要多邊形的面積最大
那它的各個頂點就非在圓周上不可

現在來證明為什麼要是「正」的
考慮相鄰的三個點 ABC

假如我現在偷偷移動 B
只有三角形 ABC 的面積會改變 其它部份不會
而三角形 ABC 的面積什麼時候最大呢(在圓上)
當然就是形成等腰三角形的時候
因為那個時候它的高最高

所以 弧AB = 弧BC
同樣的道理
所有的弧都會一樣大
那他就非得是正多邊形不可了!


(我打得好累) = =


_________________
Simple

 2011-01-23 13:12個人資料
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 固定的周長,面積誰最大?

原來如此
只要用壓的就行啊…
感恩!


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也應該
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 2011-01-24 20:49個人資料


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