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      /  特別的機率問題
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zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 特別的機率問題

甲有m塊錢,乙有n塊錢(m,n皆為正整數)
兩人各擲一顆1,2,3,4,5,6點的公平骰子
若和為偶數,則甲給乙1元
若和為奇數,則乙給甲1元
不停擲骰子,直到有一方把錢輸光為止
請問:甲與乙把錢輸光的機率各為何??

這個問題有人研究過嗎??
我算出來是n/(m+n)與m/(m+n)


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2011-01-30 22:34個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 特別的機率問題

跟酒鬼撞牆題目一樣啊

你的答案應該是對的

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
甲有m塊錢,乙有n塊錢(m,n皆為正整數)
兩人各擲一顆1,2,3,4,5,6點的公平骰子
若和為偶數,則甲給乙1元
若和為奇數,則乙給甲1元
不停擲骰子,直到有一方把錢輸光為止
請問:甲與乙把錢輸光的機率各為何??

這個問題有人研究過嗎??
我算出來是n/(m+n)與m/(m+n)


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2011-01-30 22:40個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 特別的機率問題

引文:

WENDYCHI 寫道:
跟酒鬼撞牆題目一樣啊

你的答案應該是對的
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
甲有m塊錢,乙有n塊錢(m,n皆為正整數)
兩人各擲一顆1,2,3,4,5,6點的公平骰子
若和為偶數,則甲給乙1元
若和為奇數,則乙給甲1元
不停擲骰子,直到有一方把錢輸光為止
請問:甲與乙把錢輸光的機率各為何??

這個問題有人研究過嗎??
我算出來是n/(m+n)與m/(m+n)



哪種題目??
而且我們老師還說這種題目不能解
他要給我10杯飲料了XD!!


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2011-01-30 23:01個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 特別的機率問題

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

WENDYCHI 寫道:
跟酒鬼撞牆題目一樣啊

你的答案應該是對的
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
甲有m塊錢,乙有n塊錢(m,n皆為正整數)
兩人各擲一顆1,2,3,4,5,6點的公平骰子
若和為偶數,則甲給乙1元
若和為奇數,則乙給甲1元
不停擲骰子,直到有一方把錢輸光為止
請問:甲與乙把錢輸光的機率各為何??

這個問題有人研究過嗎??
我算出來是n/(m+n)與m/(m+n)



哪種題目??
而且我們老師還說這種題目不能解
他要給我10杯飲料了XD!!


不能解是因為可能比不完啊
不過這種情況的機率是無限小量


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2011-01-30 23:13個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 特別的機率問題

引文:

WENDYCHI 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

WENDYCHI 寫道:
跟酒鬼撞牆題目一樣啊

你的答案應該是對的
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
甲有m塊錢,乙有n塊錢(m,n皆為正整數)
兩人各擲一顆1,2,3,4,5,6點的公平骰子
若和為偶數,則甲給乙1元
若和為奇數,則乙給甲1元
不停擲骰子,直到有一方把錢輸光為止
請問:甲與乙把錢輸光的機率各為何??

這個問題有人研究過嗎??
我算出來是n/(m+n)與m/(m+n)



哪種題目??
而且我們老師還說這種題目不能解
他要給我10杯飲料了XD!!


不能解是因為可能比不完啊
不過這種情況的機率是無限小量


我說過了,有一方輸光為止,否則將繼續
"酒鬼撞牆"到底是哪種題目??


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思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2011-01-30 23:44個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
hansonyu123
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註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 特別的機率問題

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
甲有m塊錢,乙有n塊錢(m,n皆為正整數)
兩人各擲一顆1,2,3,4,5,6點的公平骰子
若和為偶數,則甲給乙1元
若和為奇數,則乙給甲1元
不停擲骰子,直到有一方把錢輸光為止
請問:甲與乙把錢輸光的機率各為何??

這個問題有人研究過嗎??
我算出來是n/(m+n)與m/(m+n)


可不可以假設他們有無限多塊錢
(嘿嘿~好多錢錢哦)


_________________
去吧!神奇數學球!
--------------------------------------------------------------

字塔
也應該
要有進步
的這一天吧
今天我就讓他
徹徹底底進化吧
二零一二零九二九
二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2011-01-31 07:47個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 特別的機率問題

引文:

hansonyu123 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
甲有m塊錢,乙有n塊錢(m,n皆為正整數)
兩人各擲一顆1,2,3,4,5,6點的公平骰子
若和為偶數,則甲給乙1元
若和為奇數,則乙給甲1元
不停擲骰子,直到有一方把錢輸光為止
請問:甲與乙把錢輸光的機率各為何??

這個問題有人研究過嗎??
我算出來是n/(m+n)與m/(m+n)


可不可以假設他們有無限多塊錢
(嘿嘿~好多錢錢哦)


無限1號/(無限1號+無限2號)=??
無限2號/(無限1號+無限2號)=??
這怎麼算啊??

更難的問題:
改成骰子不公平
甲要給乙1元的機率是1/3
乙要給甲1元的機率是2/3
怎麼算??


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2011-01-31 12:37個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
hansonyu123
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註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 特別的機率問題

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

hansonyu123 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
甲有m塊錢,乙有n塊錢(m,n皆為正整數)
兩人各擲一顆1,2,3,4,5,6點的公平骰子
若和為偶數,則甲給乙1元
若和為奇數,則乙給甲1元
不停擲骰子,直到有一方把錢輸光為止
請問:甲與乙把錢輸光的機率各為何??

這個問題有人研究過嗎??
我算出來是n/(m+n)與m/(m+n)


可不可以假設他們有無限多塊錢
(嘿嘿~好多錢錢哦)


無限1號/(無限1號+無限2號)=??
無限2號/(無限1號+無限2號)=??
這怎麼算啊??

更難的問題:
改成骰子不公平
甲要給乙1元的機率是1/3
乙要給甲1元的機率是2/3
怎麼算??


所以他們永遠不會用光錢啊
ㄎㄎㄎ,如果我也能這樣就好了…


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字塔
也應該
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的這一天吧
今天我就讓他
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二一點二六分三十秒
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 2011-01-31 20:09個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 特別的機率問題

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
.........................................
更難的問題:
改成骰子不公平
甲要給乙1元的機率是1/3
乙要給甲1元的機率是2/3
怎麼算??


甲輸的機率:(2^n-1)/[2^(m+n)-1]
乙輸的機率:1-{(2^n-1)/[2^(m+n)-1]}
(已修改)
不知道有沒有算錯......
to WENDYCHI:
到底"酒鬼撞牆"題目是啥??都不理我......


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 2011-02-03 20:53個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
d22538366
Home away from home



註冊日: 2010-12-25
發表數: 176


 Re: 特別的機率問題

"酒鬼撞牆"題目是啥
我也很好奇...............

 2011-02-06 00:27個人資料傳送 Email 給 d22538366
hansonyu123
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註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 特別的機率問題

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
.........................................
更難的問題:
改成骰子不公平
甲要給乙1元的機率是1/3
乙要給甲1元的機率是2/3
怎麼算??


甲輸的機率:1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]}
乙輸的機率:(2^m-1)/[2^(m+n)-1]
不知道有沒有算錯......
to WENDYCHI:
到底"酒鬼撞牆"題目是啥??都不理我......


請問一下
你是不是先算出乙的機率再算出甲的機率啊???
還是說不管先算誰答案都會是一樣的???






(因為我不會算)


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也應該
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的這一天吧
今天我就讓他
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二零一二零九二九
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不要問我現在是幾毫秒

 2011-02-06 10:20個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 特別的機率問題

引文:

hansonyu123 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
.........................................
更難的問題:
改成骰子不公平
甲要給乙1元的機率是1/3
乙要給甲1元的機率是2/3
怎麼算??


甲輸的機率:1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]}
乙輸的機率:(2^m-1)/[2^(m+n)-1]
不知道有沒有算錯......
to WENDYCHI:
到底"酒鬼撞牆"題目是啥??都不理我......


請問一下
你是不是先算出乙的機率再算出甲的機率啊???
還是說不管先算誰答案都會是一樣的???






(因為我不會算)


啊!!我算錯了,答案反過來
我先算乙再算甲,不過其實不管先算誰答案都會是一樣的
設甲有m+n-x元,乙有x元時,乙輸的機率為f(x)
可列式:f(x)=(2/3)f(x-1) + (1/3)f(x+1)
整理得:f(x+1)-f(x)=2[f(x)-f(x-1)]
設f(1)-f(0)=d,則f(2)-f(1)=2d,f(3)-f(2)=(2^2)d,f(4)-f(3)=(2^3)d,...,f(x)-f(x-1)=[2^(x-1)]d
加起來:f(x)-f(0)=d+2d+(2^2)d+(2^3)d+...+[2^(x-1)]d
由等比級數得f(x)-f(0)=[(2^x)-1]d
故f(n)-f(0)=[(2^n)-1]d,f(m+n)-f(0)={[2^(m+n)]-1}d
又易知f(0)=1,f(m+n)=0,所以代入上式
可解得f(n)=1-{(2^n-1)/[2^(m+n)-1]},而f(n)即為所求
乙的機率有了,甲的機率就知道了

結論:
甲輸的機率:(2^n-1)/[2^(m+n)-1]
乙輸的機率:1-{(2^n-1)/[2^(m+n)-1]}


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2011-02-07 13:12個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
WENDYCHI
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註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 特別的機率問題

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

hansonyu123 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
.........................................
更難的問題:
改成骰子不公平
甲要給乙1元的機率是1/3
乙要給甲1元的機率是2/3
怎麼算??


甲輸的機率:1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]}
乙輸的機率:(2^m-1)/[2^(m+n)-1]
不知道有沒有算錯......
to WENDYCHI:
到底"酒鬼撞牆"題目是啥??都不理我......


請問一下
你是不是先算出乙的機率再算出甲的機率啊???
還是說不管先算誰答案都會是一樣的???






(因為我不會算)


啊!!我算錯了,答案反過來
我先算乙再算甲,不過其實不管先算誰答案都會是一樣的
設甲有m+n-x元,乙有x元時,乙輸的機率為f(x)
可列式:f(x)=(2/3)f(x-1) + (1/3)f(x+1)
整理得:f(x+1)-f(x)=2[f(x)-f(x-1)]
設f(1)-f(0)=d,則f(2)-f(1)=2d,f(3)-f(2)=(2^2)d,f(4)-f(3)=(2^3)d,...,f(x)-f(x-1)=[2^(x-1)]d
加起來:f(x)-f(0)=d+2d+(2^2)d+(2^3)d+...+[2^(x-1)]d
由等比級數得f(x)-f(0)=[(2^x)-1]d
故f(n)-f(0)=[(2^n)-1]d,f(m+n)-f(0)={[2^(m+n)]-1}d
又易知f(0)=1,f(m+n)=0,所以代入上式
可解得f(n)=1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]},而f(n)即為所求
乙的機率有了,甲的機率就知道了

結論:
甲輸的機率:(2^m-1)/[2^(m+n)-1]
乙輸的機率:1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]}


直觀想法:
mVSn的機率=(m+1VSn-1)的機率*2+(m-1VSn+1)的機率


_________________
BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2011-02-07 13:42個人資料
hansonyu123
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註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 特別的機率問題

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

hansonyu123 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
.........................................
更難的問題:
改成骰子不公平
甲要給乙1元的機率是1/3
乙要給甲1元的機率是2/3
怎麼算??


甲輸的機率:1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]}
乙輸的機率:(2^m-1)/[2^(m+n)-1]
不知道有沒有算錯......
to WENDYCHI:
到底"酒鬼撞牆"題目是啥??都不理我......


請問一下
你是不是先算出乙的機率再算出甲的機率啊???
還是說不管先算誰答案都會是一樣的???






(因為我不會算)


啊!!我算錯了,答案反過來
我先算乙再算甲,不過其實不管先算誰答案都會是一樣的
設甲有m+n-x元,乙有x元時,乙輸的機率為f(x)
可列式:f(x)=(2/3)f(x-1) + (1/3)f(x+1)
整理得:f(x+1)-f(x)=2[f(x)-f(x-1)]
設f(1)-f(0)=d,則f(2)-f(1)=2d,f(3)-f(2)=(2^2)d,f(4)-f(3)=(2^3)d,...,f(x)-f(x-1)=[2^(x-1)]d
加起來:f(x)-f(0)=d+2d+(2^2)d+(2^3)d+...+[2^(x-1)]d
由等比級數得f(x)-f(0)=[(2^x)-1]d
故f(n)-f(0)=[(2^n)-1]d,f(m+n)-f(0)={[2^(m+n)]-1}d
又易知f(0)=1,f(m+n)=0,所以代入上式
可解得f(n)=1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]},而f(n)即為所求
乙的機率有了,甲的機率就知道了

結論:
甲輸的機率:(2^m-1)/[2^(m+n)-1]
乙輸的機率:1-{(2^m-1)/[2^(m+n)-1]}



第一次看到機率問題這樣子的解法…


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字塔
也應該
要有進步
的這一天吧
今天我就讓他
徹徹底底進化吧
二零一二零九二九
二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2011-02-07 15:47個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 特別的機率問題

特別的機率問題(2)已說過桌球的規則
從這個問題可以知道桌球比賽到10:10(deuce)之後
比較容易把強的一方找出來
因為強的一方本來拿分的機率如果是x
10:10之後獲勝的機率就會被加強到1/{[(1-x)/x]^2 + 1}
證明:
10:10之後獲勝的機率為1/{[(1-x)/x]^2 + 1}
用前面的方法可證明
比較一下,設y=(1-x)/x,則x=1/(y+1)
x與1/{[(1-x)/x]^2 + 1}比大小
即1/(y+1)與1/(y^2 + 1)比大小
即y^2+1與y+1比大小
即y^2與y比大小
即y與1比大小
強的一方因為拿分機率較高
故x>1-x,從而y=(1-x)/x<1
x<1/{[(1-x)/x]^2 + 1}
所以是被"加強"
弱者更難贏過強者,是個公平的好規則


_________________
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 2011-02-10 16:27個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 特別的機率問題

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
特別的機率問題(2)已說過桌球的規則
從這個問題可以知道桌球比賽到10:10(deuce)之後
比較容易把強的一方找出來
因為強的一方本來拿分的機率如果是x
10:10之後獲勝的機率就會被加強到1/{[(1-x)/x]^2 + 1}
證明:
10:10之後獲勝的機率為1/{[(1-x)/x]^2 + 1}
用前面的方法可證明
比較一下,設y=(1-x)/x,則x=1/(y+1)
x與1/{[(1-x)/x]^2 + 1}比大小
即1/(y+1)與1/(y^2 + 1)比大小
即y^2+1與y+1比大小
即y^2與y比大小
即y與1比大小
強的一方因為拿分機率較高
故x>1-x,從而y=(1-x)/x<1
x<1/{[(1-x)/x]^2 + 1}
所以是被"加強"

弱者更難贏過強者,是個公平的好規則



有道理


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不要問我現在是幾毫秒

 2011-02-10 17:11個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
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 Re: 特別的機率問題

原來又有人研究過了......
在這,比我研究的還深入:
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_13_12_2/index.html


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