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      /  特別的機率問題(3)
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zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 特別的機率問題(3)

甲與乙比賽,規定甲連拿p分勝,乙連拿q分勝
假設每一分甲與乙拿分的機率分別為a,1-a
請問甲與乙勝的機率各為何??


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2011-02-09 14:03個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
hansonyu123
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註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 特別的機率問題(3)

如果這問題解出來了
那個特別的機率問題(2)中的10:10的狀況也解出來了


_________________
去吧!神奇數學球!
--------------------------------------------------------------

字塔
也應該
要有進步
的這一天吧
今天我就讓他
徹徹底底進化吧
二零一二零九二九
二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2011-02-09 21:09個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 特別的機率問題(3)

引文:

hansonyu123 寫道:
如果這問題解出來了
那個特別的機率問題(2)中的10:10的狀況也解出來了


10:10的狀況早就解出來了啊!!


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2011-02-09 23:49個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 特別的機率問題(3)

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

hansonyu123 寫道:
如果這問題解出來了
那個特別的機率問題(2)中的10:10的狀況也解出來了


10:10的狀況早就解出來了啊!!


我的意思是說10:10的狀況屬於這一題啊
p=2,q=2,a=1/3
機率是1/5
(所以呢?)
上一題差不多了,這題要開始想了(好久沒有算機率問題算那麼久了)


_________________
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字塔
也應該
要有進步
的這一天吧
今天我就讓他
徹徹底底進化吧
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二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2011-02-10 10:02個人資料
hansonyu123
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註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 特別的機率問題(3)

我覺得我算錯了…
請你幫我指正一下…
我目前的想法是
甲在p場後贏的機率是a^p
p+1場是a^p*(1-a)
p+2場是a*a^p*(1-a)+(1-a)*a^p*(1-a)=a^p*(1-a)???
p+3場是[(a+1-a)^2]*a^p*(1-a)=a^p*(1-a)????
P+4場是[(a+1-a)^3]*a^p*(1-a)=a^p*(1-a)????
p+n場是[(a+1-a)^(n-1)]*a^p*(1-a)=a^p*(1-a)????
這樣子機率不就無限了?


_________________
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 2011-02-10 10:31個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 特別的機率問題(3)

引文:

hansonyu123 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

hansonyu123 寫道:
如果這問題解出來了
那個特別的機率問題(2)中的10:10的狀況也解出來了


10:10的狀況早就解出來了啊!!


我的意思是說10:10的狀況屬於這一題啊
p=2,q=2,a=1/3
機率是1/5
(所以呢?)
上一題差不多了,這題要開始想了(好久沒有算機率問題算那麼久了)


我只是隨便想幾個無限型機率問題
讓大家一起想而已,我這題也還沒解出來
我只試了幾個特殊情況,像是你的例子還有p或q=1
這題可以像問題(1)一樣,先試a=1/2,解完再改代數a
問題(1)就這樣解完的,順便說一下
問題(1)的1/2,1/2改a,1-a
解法是把f(n)=a[f(n+1)] + (1-a)[f(n-1)]
整理成f(n+1)-f(n)=[(1-a)/a][f(n)-f(n-1)]
剩下解法同問題(1)中更難的問題的解法


_________________
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 2011-02-10 12:44個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 特別的機率問題(3)

引文:

hansonyu123 寫道:
我覺得我算錯了…
請你幫我指正一下…
我目前的想法是
甲在p場後贏的機率是a^p
p+1場是a^p*(1-a)
p+2場是a*a^p*(1-a)+(1-a)*a^p*(1-a)=a^p*(1-a)???
p+3場是[(a+1-a)^2]*a^p*(1-a)=a^p*(1-a)????
P+4場是[(a+1-a)^3]*a^p*(1-a)=a^p*(1-a)????
p+n場是[(a+1-a)^(n-1)]*a^p*(1-a)=a^p*(1-a)????
這樣子機率不就無限了?


p+q場以上(含p+q場)就不是a^p*(1-a)了


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 2011-02-10 13:13個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
hansonyu123
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發表數: 506
台灣

 Re: 特別的機率問題(3)

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

hansonyu123 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

hansonyu123 寫道:
如果這問題解出來了
那個特別的機率問題(2)中的10:10的狀況也解出來了


10:10的狀況早就解出來了啊!!


我的意思是說10:10的狀況屬於這一題啊
p=2,q=2,a=1/3
機率是1/5
(所以呢?)
上一題差不多了,這題要開始想了(好久沒有算機率問題算那麼久了)


我只是隨便想幾個無限型機率問題
讓大家一起想而已,我這題也還沒解出來
我只試了幾個特殊情況,像是你的例子還有p或q=1
這題可以像問題(1)一樣,先試a=1/2,解完再改代數a
問題(1)就這樣解完的,順便說一下
問題(1)的1/2,1/2改a,1-a
解法是把f(n)=a[f(n+1)] + (1-a)[f(n-1)]
整理成f(n+1)-f(n)=[(1-a)/a][f(n)-f(n-1)]
剩下解法同問題(1)中更難的問題的解法


不太懂
f(n)=a[f(n+1)] + (1-a)[f(n-1)]是怎麼來的?


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 2011-02-10 17:08個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
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 Re: 特別的機率問題(3)

引文:

hansonyu123 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

hansonyu123 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
引文:

hansonyu123 寫道:
如果這問題解出來了
那個特別的機率問題(2)中的10:10的狀況也解出來了


10:10的狀況早就解出來了啊!!


我的意思是說10:10的狀況屬於這一題啊
p=2,q=2,a=1/3
機率是1/5
(所以呢?)
上一題差不多了,這題要開始想了(好久沒有算機率問題算那麼久了)


我只是隨便想幾個無限型機率問題
讓大家一起想而已,我這題也還沒解出來
我只試了幾個特殊情況,像是你的例子還有p或q=1
這題可以像問題(1)一樣,先試a=1/2,解完再改代數a
問題(1)就這樣解完的,順便說一下
問題(1)的1/2,1/2改a,1-a
解法是把f(n)=a[f(n+1)] + (1-a)[f(n-1)]
整理成f(n+1)-f(n)=[(1-a)/a][f(n)-f(n-1)]
剩下解法同問題(1)中更難的問題的解法


不太懂
f(n)=a[f(n+1)] + (1-a)[f(n-1)]是怎麼來的?


第一回合完
a的機率乙變成n+1元
1-a的機率乙變成n-1元
然後乘上之後的機率就是了


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 2011-02-10 20:30個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
zaq1bgt5cde3mju7
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 Re: 特別的機率問題(3)

知道怎麼解了!!
設置雙函數f(x),g(x)
這樣就可以解了
統合成公式要花一些時間
有空再來弄吧!!

另外,昨天半夜解了一次我嚇個半死
我試了a=1/3,p=q=2
結果是5/21,16/21
與先前的1/5,4/5矛盾
想清楚才發覺hansonyu123錯了
兩種不一樣啦!!


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 2011-02-13 17:53個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
hansonyu123
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 Re: 特別的機率問題(3)

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
知道怎麼解了!!
設置雙函數f(x),g(x)
這樣就可以解了
統合成公式要花一些時間
有空再來弄吧!!

另外,昨天半夜解了一次我嚇個半死
我試了a=1/3,m=n=2
結果是5/21,16/21
與先前的1/5,4/5矛盾
想清楚才發覺hansonyu123錯了
兩種不一樣啦!!


是哦
不是一樣的嗎???
剛剛康復


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 2011-02-13 22:03個人資料
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 Re: 特別的機率問題(3)

引文:

hansonyu123 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
知道怎麼解了!!
設置雙函數f(x),g(x)
這樣就可以解了
統合成公式要花一些時間
有空再來弄吧!!

另外,昨天半夜解了一次我嚇個半死
我試了a=1/3,m=n=2
結果是5/21,16/21
與先前的1/5,4/5矛盾
想清楚才發覺hansonyu123錯了
兩種不一樣啦!!


是哦
不是一樣的嗎???
剛剛康復


康復??
回到桌球那題
10:10=>11:10=>11:11=>11:12
乙連勝兩場了,但比賽還沒結束


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 2011-02-13 23:52個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
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 Re: 特別的機率問題(3)


沒有想到



我上星期六生病,隔天康復


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 2011-02-14 20:54個人資料
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 Re: 特別的機率問題(3)

我公式整理好了,但是醜到爆,有誰要看嗎??
(有重新再處理過,所以好一點啦......)
還是說舉個例子解給不會的人看??(我的手會酸就是了......)


_________________
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 2011-02-14 21:12個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
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 Re: 特別的機率問題(3)

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
我公式整理好了,但是醜到爆,有誰要看嗎??
(有重新再處理過,所以好一點啦......)
還是說舉個例子解給不會的人看??(我的手會酸就是了......)


我覺得我很需要…
那兩個函數要設麼我都不知道了!!
如果你不想打也沒關係,我會解解看(不過可能一年後吧…等我畢業)


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 2011-02-14 21:36個人資料
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 Re: 特別的機率問題(3)

先告訴你那兩個函數怎麼設好了(而且也是最關鍵的)


設:
f(x)為甲連勝x場時,甲最後獲勝的機率
g(x)為乙連勝x場時,甲最後獲勝的機率


這裡先跟你講
f(p)=1
g(q)=0
f(x)=af(x+1)+(1-a)g(1)
g(x)=(1-a)g(x+1)+af(1)
剩下的有時間補給你看


答:
甲勝的機率:(x+axy-xy)/(x+y-xy)
乙勝的機率:(y-axy)/(x+y-xy)
其中
x=a^(p-1)
y=(1-a)^(q-1)


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 2011-02-14 23:29個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
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發表數: 559
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 Re: 特別的機率問題(3)

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
先告訴你那兩個函數怎麼設好了(而且也是最關鍵的)


設:
f(x)為甲連勝x場時,甲最後獲勝的機率
g(x)為乙連勝x場時,甲最後獲勝的機率


這裡先跟你講
f(p)=1
g(q)=0
f(x)=af(x+1)+(1-a)g(1)
g(x)=(1-a)g(x+1)+af(1)
剩下的有時間補給你看


答:
甲勝的機率:(x+axy-xy)/(x+y-xy)
乙勝的機率:(y-axy)/(x+y-xy)
其中
x=a^(p-1)
y=(1-a)^(q-1)


函數已經設完了
f(p)=1
g(q)=0
f(x)=af(x+1)+(1-a)g(1)
g(x)=(1-a)g(x+1)+af(1)
這四行易知


把f(x)=af(x+1)+(1-a)g(1)整理成a[f(x+1)-g(1)]=f(x)-g(1)
g(x)=(1-a)g(x+1)+af(1)整理成(1-a)[g(x+1)-f(1)]=g(x)-f(1)


這樣把
a[f(p)-g(1)]=f(p-1)-g(1)
a[f(p-1)-g(1)]=f(p-2)-g(1)
a[f(p-2)-g(1)]=f(p-3)-g(1)
...................................
a[f(2)-g(1)]=f(1)-g(1)
諸式相乘
可得a^(p-1)[f(p)-g(1)]=f(1)-g(1)


(1-a)[g(q)-f(1)]=g(q-1)-f(1)
(1-a)[g(q-1)-f(1)]=g(q-2)-f(1)
(1-a)[g(q-2)-f(1)]=g(q-3)-f(1)
....................................
(1-a)[g(2)-f(1)]=g(1)-f(1)
諸式相乘
可得(1-a)^(q-1)[g(q)-f(1)]=g(1)-f(1)


a^(p-1)[f(p)-g(1)]=f(1)-g(1)
(1-a)^(q-1)[g(q)-f(1)]=g(1)-f(1)
f(p)=1,g(q)=0代入後
變成f(1),g(1)的二元一次聯立方程式
然後暴力解出f(1),g(1)後
af(1)+(1-a)g(1)即答案(易知)


就這樣,出現了很醜的答案
我把他處理過才變那樣


答:
甲勝的機率:(x+axy-xy)/(x+y-xy)
乙勝的機率:(y-axy)/(x+y-xy)
其中
x=a^(p-1)
y=(1-a)^(q-1)


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 2011-02-15 23:50個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7


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