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      /  一個問題
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zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 一個問題

自己出給自己的

有一角ABC
半圓P,Q,R的直徑分別在BC,AB,BC上
半圓P,Q,R分別與AB,BC,AB相切
半圓P與半圓Q外切,半圓Q與半圓R外切
半圓P不全等於半圓R
假設半圓P,Q,R的半徑分別為x,y,z
求證:y^2=xz

我只能用全圖去掉半圓R的圖形
憑感覺相似於全圖去掉半圓P的圖形
而得x:y=y:z,y^2=xz

但此法不嚴謹
除暴力法證明外
各位有無漂亮的嚴謹證明??


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思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2011-06-25 20:07個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 一個問題

目前我最漂亮的嚴謹證明也很煩(還是暴力法= =......)
如下:

設P在BR上,半圓P,Q,R分別與AB,BC,AB相切於D,E,F三點
且cot(角ABC)=m,csc(角ABC)=n
連DP,EQ,FR,PQ,QR
可知DP,EQ,FR分別與AB,BC,AB垂直
PQ=x+y,QR=y+z
DQ=BQ-BD=ny-mx,QF=BF-BQ=mz-ny
觀察QDP,QFR兩個直角三角形的商高定理
可知(ny-mx)^2+x^2=(x+y)^2,(mz-ny)^2+z^2=(y+z)^2
把m,n,y當常數看
則x,z為t的二次方程(mt-ny)^2+t^2=(t+y)^2之兩根
由根離係數得兩根之積xz=(n^2-1)(y^2)/(m^2)
又cot(角ABC)=m,csc(角ABC)=n,故n^2-m^2=1,n^2-1=m^2
xz=(n^2-1)(y^2)/(m^2)=y^2
y^2=xz
證畢


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 2011-06-28 11:52個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 一個問題

http://tw.myblog.yahoo.com/jw!ozHXUsWHHh7UxM0Y2TXK_uEdXwGqCw--/photo?pid=5155
網友提供的解答,好簡潔有力啊!!


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 2011-07-04 12:40個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
simon89889
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-13
發表數: 89


 Re: 一個問題

我覺得這個很直觀耶...
用看的就知道三個圓的半徑等比了阿

因為你把最小的圓拿掉的圖說穿了不就和把最大的圓拿掉的圖是一樣的嗎= =

 2011-07-04 14:54個人資料


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