目前我最漂亮的嚴謹證明也很煩(還是暴力法= =......) 如下:
設P在BR上,半圓P,Q,R分別與AB,BC,AB相切於D,E,F三點 且cot(角ABC)=m,csc(角ABC)=n 連DP,EQ,FR,PQ,QR 可知DP,EQ,FR分別與AB,BC,AB垂直 PQ=x+y,QR=y+z DQ=BQ-BD=ny-mx,QF=BF-BQ=mz-ny 觀察QDP,QFR兩個直角三角形的商高定理 可知(ny-mx)^2+x^2=(x+y)^2,(mz-ny)^2+z^2=(y+z)^2 把m,n,y當常數看 則x,z為t的二次方程(mt-ny)^2+t^2=(t+y)^2之兩根 由根離係數得兩根之積xz=(n^2-1)(y^2)/(m^2) 又cot(角ABC)=m,csc(角ABC)=n,故n^2-m^2=1,n^2-1=m^2 xz=(n^2-1)(y^2)/(m^2)=y^2 y^2=xz 證畢 _________________ 思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得
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