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zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 自編題

(1)一圓的弦AB,P為圓上動點
請證明:PA+PB的最大值發生時,PA=PB
(2)P為一橢圓上的動點,橢圓兩焦點為A,B
請證明:PA=PB時,角P有最大值

橢圓的性質只需知道PA+PB為定值
(2)就可以解了


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2011-07-31 22:09個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 自編題

(1)
設有一點P'異於P
那麼因為角ABP'=角ABP
角PAB=角PBA
所以角P'AP=角P'BP
將BP與AP重疊
角P'AB與角P'(P'')BP重疊
得到新三角形A(B)PP''
則原本的AP'+BP'=重疊後的AP'+BP''
又因為PP'=PP''
所以AP'+BP''=2*AP'''(設P'''為P'P''中點)
又在A(B)PP'''中
A(B)P>AP''' (大角對大邊,小角對小邊)
所以2*A(B)P>AP'''
2*A(B)P>AP'+BP''
AP+BP>AP'+BP'(原本的)
所以當PA+PB為最大值時,PA=PB


_________________
去吧!神奇數學球!
--------------------------------------------------------------

字塔
也應該
要有進步
的這一天吧
今天我就讓他
徹徹底底進化吧
二零一二零九二九
二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2011-08-01 21:42個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 自編題

你的方法比我好!!
你試試第二題


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2011-08-01 23:49個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
whereisbrianchao520
Quite a regular



註冊日: 2010-04-25
發表數: 51


 Re: 自編題

令角PAB為b, PBA為a
則PA+PB=dsina+dsinb(弦長公式
若 PA=PB
因為角APB為定值
故PA+PB=2dsin((a+b)/2)
令k(dsina+dsinb)=2dsin((a+b)/2)
則k(sina+sinb)=2sin((a+b)/2)
2ksin((a+b)/2)cos((b-a)/2)=2sin((a+b)/2)
kcos((b-a)/2)=1
因為cos((b-a)/2)小於1 故K大於1
2dsin((a+b)/2)>dsina+dsinb
即當PA+PB為最大值時,PA=PB


_________________
在數學的天地裡,重要的不是我們知道什麼,而是我們如何知道。

 2011-08-02 15:51個人資料
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 自編題

引文:

whereisbrianchao520 寫道:
令角PAB為b, PBA為a
則PA+PB=dsina+dsinb(弦長公式
若 PA=PB
因為角APB為定值
故PA+PB=2dsin((a+b)/2)
令k(dsina+dsinb)=2dsin((a+b)/2)
則k(sina+sinb)=2sin((a+b)/2)
2ksin((a+b)/2)cos((b-a)/2)=2sin((a+b)/2)
kcos((b-a)/2)=1
因為cos((b-a)/2)小於1 故K大於1
2dsin((a+b)/2)>dsina+dsinb
即當PA+PB為最大值時,PA=PB


我看不懂^^
我只是個準國中生


_________________
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字塔
也應該
要有進步
的這一天吧
今天我就讓他
徹徹底底進化吧
二零一二零九二九
二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2011-08-02 21:28個人資料
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 自編題

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
你的方法比我好!!
你試試第二題


我解不了
因為我不知道什麼是焦點^^


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要有進步
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今天我就讓他
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 2011-08-02 21:28個人資料
whereisbrianchao520
Quite a regular



註冊日: 2010-04-25
發表數: 51


 Re: 自編題

橢圓是平面上到兩個固定點的距離之和是常數的軌跡。這兩個固定點叫做焦點。 也就是橢圓上有一動點p 其中若橢圓內有兩點(同一直線) 使 AP+BP為一定值 則AB 為兩焦點
ps 我也是準國中生


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在數學的天地裡,重要的不是我們知道什麼,而是我們如何知道。

 2011-08-03 08:23個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 自編題

我下面有註明啊
簡單的說,AB為定值,PA+PB為定值
pf:PA=PB時,角P有最大值


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思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2011-08-03 13:50個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
whereisbrianchao520
Quite a regular



註冊日: 2010-04-25
發表數: 51


 Re: 自編題

第二題
令PA+PB=2a
PB=a+t. PA=a-t
角APB為α, AB為b
則由餘弦定理
(a+t)^2+(a-t)^2-2(a-t)(a+t)cosα=b^2
cosα=2(a^2+t^2)-b^2/2(a^2-t^2)
在t為零時,即AP=PB,cosα有最小值 α 有最大值
即當AP=PB, 角P有最大值
(不知道有沒有錯


_________________
在數學的天地裡,重要的不是我們知道什麼,而是我們如何知道。

 2011-08-03 15:58個人資料
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 自編題

引文:

whereisbrianchao520 寫道:
第二題
令PA+PB=2a
PB=a+t. PA=a-t
角APB為α, AB為b
則由餘弦定理
(a+t)^2+(a-t)^2-2(a-t)(a+t)cosα=b^2
cosα=2(a^2+t^2)-b^2/2(a^2-t^2)
在t為零時,即AP=PB,cosα有最小值 α 有最大值
即當AP=PB, 角P有最大值
(不知道有沒有錯


又是一群看不懂的東西= =
如果真的是準國中生那也太…


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二零一二零九二九
二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2011-08-03 21:51個人資料
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 自編題

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
我下面有註明啊
簡單的說,AB為定值,PA+PB為定值
pf:PA=PB時,角P有最大值



所以也就是說
圓是橢圓的特殊情況囉
就是兩個焦點重疊時的情況

那麼可不可以像求出圓心一樣
給定一個橢圓,求此橢圓的兩個焦點?


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 2011-08-03 21:53個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 自編題

我也不懂三角函數

引文:

hansonyu123 寫道:
引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
我下面有註明啊
簡單的說,AB為定值,PA+PB為定值
pf:PA=PB時,角P有最大值



所以也就是說
圓是橢圓的特殊情況囉
就是兩個焦點重疊時的情況

那麼可不可以像求出圓心一樣
給定一個橢圓,求此橢圓的兩個焦點?


我不知道,我沒學過橢圓
那性質是無意中查到的
為了一個題目,去查橢圓有什麼性質


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 2011-08-04 14:08個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
hansonyu123
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註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 自編題

引文:

whereisbrianchao520 寫道:
第二題
令PA+PB=2a
PB=a+t. PA=a-t
角APB為α, AB為b
則由餘弦定理
(a+t)^2+(a-t)^2-2(a-t)(a+t)cosα=b^2
cosα=2(a^2+t^2)-b^2/2(a^2-t^2)
在t為零時,即AP=PB,cosα有最小值 α 有最大值
即當AP=PB, 角P有最大值
(不知道有沒有錯


我有更簡單的^^(只有完成2/3)
設有一點P'在橢圓上
由於對稱性,假設P'和P在AB的異側,且設AP'>BP'
(1)當PAP'B為凹多邊形時,因為AP'>AP
所以角APP'>AP'P
又因為BP'<BP
所以角BPP'<BP'P
那因為角P=角APP'-角BPP'
角P'=角AP'P-角BP'P
所以角P>角P'
(2)當P'BP在同一直線上
則因為AP'>AP
所以角P>角P'
(3)當PAP'B為凸多邊形時,大家幫忙一下吧^^


-------------------------------------------------------------------
另外,不曉得這個作法可不可以
設P'和P在AB的同側
(則因為P'P=P'P,PB=PA,P'A>P'B所以角P'BP>角P'AP)括號中不曉得通不通
因為角P'=180度-角PBA-角PAB-角P'BA+角P'AP
角P=180度-角PAB-角P'BA
所以角P'>角P


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 2011-08-04 22:08個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 自編題

你完全無視PA+PB=P'A+P'B的條件了
= =......


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 2011-08-05 06:42個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
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註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 自編題

to:whereisbrianchao520
我翻成定義檢查過了
你沒有錯


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 2011-08-05 06:50個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
hansonyu123
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註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 自編題

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
你完全無視PA+PB=P'A+P'B的條件了
= =......


我有用啊
P'A,P'B一長一短


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 2011-08-05 21:44個人資料
whereisbrianchao520
Quite a regular



註冊日: 2010-04-25
發表數: 51


 Re: 自編題

只是就算一長一短 證明中也沒用到AP+BP=A'P+B'P


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 2011-08-06 12:24個人資料
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 自編題

引文:

whereisbrianchao520 寫道:
只是就算一長一短 證明中也沒用到AP+BP=A'P+B'P


難到不用不行嗎=ˇ=


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 2011-08-06 21:44個人資料
whereisbrianchao520
Quite a regular



註冊日: 2010-04-25
發表數: 51


 Re: 自編題

沒有說不行阿 只是說沒用到而已


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 2011-08-06 22:03個人資料
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 自編題

引文:

whereisbrianchao520 寫道:
沒有說不行阿 只是說沒用到而已


不要嚇我嗎


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 2011-08-06 22:19個人資料
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