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   /  高中
      /  換門期望值問題
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發布者內容列
eric00031
Just popping in



註冊日: 2012-12-05
發表數: 2


 換門期望值問題

大家好,這是小弟第一次在這裡發文,
請諸君指教。

題目是這樣的:

一場獎金遊戲中,有A、B兩扇門供參賽者選擇。
主持人表示,兩扇門後皆有獎金,
但其中一扇門的獎金是另一扇的兩倍。
但是主持人並未公布兩扇門相加的總獎額是多少。

接著,參賽者選擇了A門,打開後獎金是100元。

主持人給予了參賽者一次換門機會,
參賽者開始計算兩扇門的獎金期望值:

A門毫無疑問的是100元獎金。
B門獎金有兩種可能,即50元或200元,且機率各半
(取決於A門是大獎或小獎)
由此知B門獎金期望值是125元,果斷換門。

但是,這個結論應該是錯誤的。

試改變題目情境如下:

參賽者賣弄數學,
選門前就預先拿出紙筆作計算。
假設A門獎金是a元,B門是b元。
選擇A門就可以拿到a元,而b=0.5a或是2a,
所以b的期望值是1.25a,大於a,應該選B門,
但選了B門後,
再去估計A門的獎金又會發現a的期望值是1.25b,
這就造成了循環下去的矛盾,
當然,在沒有任何資訊的情況下選門,
絕對是公平的,
兩扇門理應有相同的期望值,
那麼上述推論的錯誤又在哪裡?

正確的計算應該是這樣的:
獎金總額是3x元的話,
只有兩種情況,a=2x,b=x或是a=x,b=2x。
所以a和b的期望值都是(2/3)x,
換不換門都是無所謂的。

雖然我覺得我已經找到正確的算法,
但我還是不會解釋錯誤算法的錯誤點在哪裡…

試著誇張化題目:
兩扇門的獎金倍數差變成1億倍,
你開了A門發現是1元,
那難道不意味著B門可能是1億元或是0元?
(一億分之一太小,當作0元來看)
並且1億元和0元機率難道不是各半嗎?
這種情況下真的不需要換門?
換了門頂多損失1元,但卻可能得到1億!

希望有高手提供解釋,能針對謬論的錯誤點攻擊。




 2012-12-05 21:45個人資料
hansonyu123
Home away from home



註冊日: 2010-11-28
發表數: 506
台灣

 Re: 換門期望值問題


正確的計算應該是這樣的:
獎金總額是3x元的話,
只有兩種情況,a=2x,b=x或是a=x,b=2x。
所以a和b的期望值都是(2/3)x,
換不換門都是無所謂的。

這段
你已經知道a了
那麼你不能說兩種情況是a=2x,b=x或a=x,b=2x
只能說b=2a或b=0.5 a

我覺得…


_________________
去吧!神奇數學球!
--------------------------------------------------------------

字塔
也應該
要有進步
的這一天吧
今天我就讓他
徹徹底底進化吧
二零一二零九二九
二一點二六分三十秒
不要問我現在是幾毫秒

 2012-12-06 06:03個人資料
eric00031
Just popping in



註冊日: 2012-12-05
發表數: 2


 Re: 換門期望值問題

經過一個下午的搜尋
我發現原來這是個經典的題目
叫做exchange paradox
主要問題是出在
"把unkown constant當成了random variable"

因為兩門背後的獎金在遊戲開始前已經固定了
即使你知道了其中一門的獎金,
另一門的獎金可能性卻不是機率問題。
當然就不能單純用機率期望值去估計了。

簡單說就是這樣,
還有幾篇論文專門在討論這個問題的...

 2012-12-07 18:48個人資料
gkw0824usa
Just can't stay away



註冊日: 2004-07-28
發表數: 143
University of Texas at Austin

 Re: 換門期望值問題

引文:
"把unkown constant當成了random variable"

因為兩門背後的獎金在遊戲開始前已經固定了
即使你知道了其中一門的獎金,
另一門的獎金可能性卻不是機率問題。


I was gonna say that ;D


_________________
Atra esternī ono thelduin
Mor'ranr līfa unin hjarta onr
Un du evarīnya ono varda.

May good fortune rule over you
Peace live in your heart
And the stars watch over you.

 2012-12-21 07:25個人資料


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