as title
---------------- / \ / \ / \ \ / \ / \ / -------------- ----------------- /a\ b \ / \ \ / \ c \ \ s / / \ / / \z/ d / ------------------假設這是一個「正」六邊形那就圖上所示，我們把他拉成了一個凹的六邊形而本來是a+b=120度的角變成了b而已本來是z+d=120度的角變成了d而已但是原本是s〈120度〉的角增大為c，也等於增加了c-s要如何證明a+z=c-s？假設現在是拉成一個五邊形〈並非真的五邊形，因為我們認為c角依然存在，所以只能成為一個證明用的假想圖〉就是把a角到z角拉成一條直線，就會發現本來120度的a+b和z+d都變成90度的直角，所以b和d就成為90度了，減少的a和z就都是30度，而本來s角也是120度，現在變成了c角，而是180度〈一條直線〉，增加了60度，也就是c-s=60所以z+a=c-s是沒錯的，凸n邊形和凹n邊形的內角和就一樣，我只是個國小5年級的學生，我覺得我似乎只是證明了正多邊形的時候所形成的情況，但我認為這條線不管拉到哪個程度，這個道理都應該是適用的有錯誤的話請高手指正，謝謝
對不起，為什麼我的圖會變成這樣？這個討論區是不是使用類似html編碼的效果，讓我的空白鍵無效了？
對任何樣子的凹多邊形對任何多邊數的凹多邊形請給一個詳解證明
三點可連成一個三角形在同一個平面上，所有的n邊形(包含凹n邊形與凸n邊形)，必有n個頂點，∵在n邊形的內部，必可連成(n-2)個三角形(要如何證明這句話？找例子用畫的不是辦法，不具有一般性)凹n邊形的內角合=(n-2)×180凸n邊形的內角合=(n-2)×180∴ 凹n邊形內角和等於凸n邊形內角和
需要證明分割法適用於任何凹多邊形
在同一平面上，考慮一個n邊形，可分割為2個凸多邊形，P凸多邊形，Q凸多邊形總邊數增加2個，即 P+Q = n+2其中，P凸多邊形可分割為(P-2)個△--------(1)Q凸多邊形可分割為(Q-2)個△-------(2)(1)＋(2)可得(P凸多邊形＋Q凸多邊形)共可分割為﹝(P-2)＋(Q-2)﹞個△即，(P＋Q-4)個△又，已知 P+Q = n+2，代入上式可得P＋Q-4=( n+2)-4=n-2故，n多邊形之內角和= P凸多邊形之內角和＋Q凸多邊形之內角和---------------------------------------------------以此方法，在同一平面上將任意n多邊形分割為(P1，P2，P3，…，Pm)共m個凸多邊形，Pi為凸多邊形的邊數。總邊數增加2m-2個，即P1＋P2＋P3＋…＋Pm= n+2m-2其中，P1凸多邊形可分割為(P1)-2 個△---------(1)P2凸多邊形可分割為(P2)-2 個△---------(2)P3凸多邊形可分割為(P3)-2 個△---------(3)：Pm凸多邊形可分割為(Pm)-2 個△--------(m)把上面m個式子加在一起，可得m個凸多邊形一共可以分割成(P1＋P2＋P3＋…＋Pm)-2m 個△已知 P1＋P2＋P3＋…＋Pm= n+2m-2代入上式可得m個凸多邊形一共可以分割成 n+2m-2-2m 個△= n-2個△一個△的內角和=180°故，在同一平面上，任意n多邊形的內角和必為(n-2)x180°然此多邊形包括n凸多邊形與n凹多邊形故，n凸多邊形的內角和=n凹多邊形的內角和，得證。--------------------------------------------------------------------------目前這個證法，適合國中程度，應該有其他更好的證法。這是個有趣的題目。
仔細觀察凹n邊形可以發現凹四邊形：凸三邊形一邊內凹凹五邊形：凸三邊形二邊內凹;凸四邊形一邊內凹凹六邊形：凸三邊形三邊內凹;凸四邊形二邊內凹;凸五邊形一邊內凹凹七邊形：凸四邊形三邊內凹;凸五邊形二邊內凹;凸六邊形一邊內凹凹八邊形：凸四邊形四邊內凹;凸五邊形三邊內凹;凸六邊形二邊內凹;凸七邊形一邊內凹依此類推......可得凹n邊形：凸a邊形b邊內凹(其中a+b=n)所以凹n邊形內角和=(a-2)*180+(360-180)*b=(a-2)*180+180b=(a+b-2)*180=(n-2)*180結果與凸n邊形相同
(a-2)*180+(360-180)*b為什麼？
http://www.mathland.idv.tw/board/memo.asp?srcid=7910&bname=ASP
