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      /  環球城市數學競賽初級卷高中第四題
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訪客








 Re: 環球城市數學競賽初級卷高中第四題

a2^2-a1^2=d(a2+a1)=md,所以a2+a1=m是整數,同理a3^2-a2^2=d(a3+a2)=nd,所以a3+a2=n是整數.
(1)若a1是整數,則a2及a3為整數,數列每一項均為整數.
(2)若a1不是整數,令a1=p/q,(p,q)=1,a2=m-a1=m-p/q,
d=a2-a1=m-2p/q,代入a1^2-a1=kd此方程式,a1(a1-1)=k(m-2p/q)

 2004-03-06 22:46
訪客








 Re: 環球城市數學競賽初級卷高中第四題

引文:

寫道:
a2^2-a1^2=d(a2+a1)=md,所以a2+a1=m是整數,同理a3^2-a2^2=d(a3+a2)=nd,所以a3+a2=n是整數.
為何a1+a2,a2+a3為整數?

 2004-03-06 23:09
mathematics0
Just popping in



註冊日: 2002-09-12
發表數: 15
桃園

 Re: 環球城市數學競賽初級卷高中第四題

看看大家的發表,覺得好奇怪…題目講的很清楚啊@@

我記得這題寫得很順:
a1^2=an=a1+(n-1)d......(1)
a2^2=ak=a1+(k-1)d
(a1+d)^2=a1+(k-1)d
a1^2+2a1d+d^2=a1+(k-1)d......(2)
同理,a1^2+4a1d+4d^2=a1+(r-1)d......(3)
(n、k、r為正整數)
由(1)知(n-1)d=a1^2-a1代入(2)得
(n-1)d+2a1d+d^2=(k-1)d
由於d=0時此數列必為整數數列(自己證@@),消d得
2a1+d=k-n為整數......(4)
將此代入(3)則得
(n-1)d+4a1d+4d^2=(r-1)d
4a1+4d=n-r為整數......(5)
(4)*2-(5)得2d為整數,代回(5)得4a1為整數
令d=x/2,a1=y/4(x、y為整數)代回(n-1)d=a1^2-a1
得x(n-1)/2=y(y-4)/16
8x(n-1)=y(y-4)則y必為4的倍數(自己證@@)
即a1為整數,代回(4)得d為整數,故這個等差數列中的每一項都是整數
(覺得自己寫的不漂亮……= =)

 2004-03-07 01:19個人資料傳送 Email 給 mathematics0msnm
訪客








 Re: 環球城市數學競賽初級卷高中第四題

最後部分講詳細一點就對了。
孫文先敬上

 2004-03-07 08:33
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