歡迎來到 財團法人台北市九章數學教育基金會
首頁 新聞區 討論區 檔案下載
重要公告

2020 澳洲AMC數學能力檢定


2020年國際中小學數學能力檢測(IMAS)


第23屆小學數學世界邀請賽(PMWC 2020,香港)與2020國際小學數學競賽(IIMC 2020,印尼雅加達市)


2020青少年數學國際城市邀請賽(IIMC 2020,印尼雅加達市))


2019年國際小學數學及自然科學奧林匹亞 (IMSO 2019,越南 Hanoi市)


2019國際青少年數學奧林匹亞 (ITMO 2019,印度 Lucknow市)

歷史公告

澳洲AMC數學能力檢定

2019 澳洲AMC

2018 澳洲AMC


國際中小學數學能力檢測(IMAS)

IMAS 2018

IMAS 2017


小學數學競賽

小學數學世界邀請賽與國際小學數學競賽

PMWC 2019與SAIMC 2019

PMWC 2018與BIMC 2018

國際小學數學及自然科學奧林匹亞(IMSO)

IMSO 2018

IMSO 2017


中學數學競賽

青少年數學國際城市邀請賽

SAIMC 2019

BIMC 2018

國際青少年數學奧林匹亞(ITMO )

ITMO 2017

ITMO 2015

國際青少年數學家會議(IYMC )

IYMC 2016

越南河內數學邀請賽(HOMC )

HOMC 2019


欲查詢其餘歷史公告,可利用首頁右側之關鍵字搜尋功能
目前並未有最新新聞!
主選單
· 回首頁
· 新聞區
· 討論區
· 檔案下載
· 網站連結
· 電子相薄
· 夥伴網站
· 精華文章
/  討論區主頁10
   /  學習討論區
      /  一個關於恰當微分的速解法
限會員
發布者內容列
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 一個關於恰當微分的速解法

由於最近因準備研究所,所以開始復習工數,而在工數的第一章有一節是恰當微分的章節,小弟最近想到一個另類的解法。
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0

My = Nx => exact

Let

M(x,y) = R(x) + r(x,y)

N(x,y) = Q(y) + q(x,y)

Solution is

S R(x)dx + S Q(y)dy + S r(x,y)dx = c or

S R(x)dx + S Q(y)dy + S q(x,y)dy = c and

S R(x)dx + S Q(y)dy + 1/2 [S r(x,y)dx + S q(x,y)dy] = c
My是M(x,y)對於y的偏微分,S代表積分符號,r(x,y)中y視為常數,而q(x.y)中x視為常數

不知道各位在上課時老師有沒有教這一個方法,至少我沒有,然後我就去找以前上過課的老師,結果被罵到臭頭,還說這是旁門左道,這方法沒多大意義,這我當然知道沒多大意義啊,但至少這個方法和課本上的不一樣吧,而且我還有証明,只是當時並不完全,所以先post上來看有沒有人,已經知道這一個方法。


_________________

 2002-10-12 23:27個人資料
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 Re: 一個關於恰當微分的速解法

現在post我的証明,也酗]於數學的高手而言,這証明並看不上眼,但是對於學工數的同學而言,應該是可以接受的。
f(x,y) = c => df = 0

df = fxdx + fydy = 0

S df = 0 => f(x,y) = c

上面只是說積分是微分的逆運算,相信有學過微積分的應該都知道,但是第一個命題就在這裡

既然 S df = 0 => f(x,y) = c

那 S fxdx + S fydy = or not = f(x,y) = c 會不會等於f(x,y)呢?

(x+y)^2dx + (x+y)^2dy = 0

以這個題為例,用正常的解法所得的答案,和直接積分回去的答案是不一樣的,其不一樣的地方在於x和y的混合項多出了一倍,所以第一個命題的答案是

S fxdx + S fydy not = f(x,y) = c


_________________

 2002-10-15 22:36個人資料
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 Re: 一個關於恰當微分的速解法

繼續上面的證明,即混合項會多一倍,那就多可能是微積分運算,和四則運算有本質上的不同,所以就把f(x,y)拆成三個部分,分別是純x的、純y的和xy的混合項。

let: f(x,y) = H(x) + P(y) + G(x,y)

df = fxdx + fydy = 0 => df = [H'(x) + Gx]dx + [P'(y) + Gy]dy = 0

S fxdx + S fydy = S H'(x)dx + S P'(y)dy + S Gxdx + S Gydy

S fxdx + S fydy = H(x) + P(y) + 2G(x,y) = f(x,y) + G(x,y)

原來是偏微分搞的鬼,所以我只要從G(x,y)下手就是了,因為在直接還原的過程中G(x,y)就是S Gxdx 同時也是S Gydy 所以會多出一個G(x,y),所以只要取一其一積分,或是它們相加的一半,也是就是一開始的三個公式啦。

在積分中一定會有常數項吧,而偏積分中的常數則會帶有當初被視定值的數,這是接下來的中心概念。
f(x,y) = S H'(x)dx + S P'(y)dy + 1/2[ S Gxdx + S Gydy] = c

let:
S H'(x)dx = H(x) + a ; S P'(y)dy = P(y) + e

S Gxdx = G(x,y) + b(y) ;S Gydy = G(x,y) + j(x)

S H'(x)dx + S P'(y)dy +1/2[ S Gxdx + S Gydy] = c

=> H(x) + a + P(y) + e +1/2[G(x,y) + b(y) + G(x,y) + j(x)] = c

=> f(x,y) + 1/2[ b(y) + j(x)] = c - a - e

∵f(x,y) = c ∴1/2[ b(y) + j(x)] = -a - e ###

由於b(y) + j(x)是一常數,所以這兩個不同變數的函數相加,居然只是一個常數,所以iff(if and only if)它們兩個函數是常數。

以由於以上的積分常數可以移項和未定常數合併,而對所未定常數的任何運算都還是未定常數,例如 c^2 = d,所以我們可以大膽的寫出

f(x,y) = S H'(x)dx + S P'(y)dy +1/2[ S Gxdx + S Gydy] = c

同時也是因為這緣故,第一個和第二個公式也成立,最後再把

M(x,y) = R(x) + r(x,y) ; N(x,y) = Q(y) + q(x,y)

fxdx + fydy = = [H'(x) + Gx]dx + [P'(y) + Gy]dy

來比較,就知道R(x)、r(x,y)、Q(y)、q(x,y)和H'(x)、Gx、P'(y)、Gy,及fx、fy,的關係求出來了,我就不說了。

M(x,y)及N(x,y)中的常數請歸類到R(x)和Q(y)中,不然錯誤的機會是一半以上哦。


_________________

 2002-10-15 22:42個人資料
訪客








 Re: 一個關於恰當微分的速解法

If u(x,y) is the solution of an exact D.E.
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
where My=Nx, defined as "Leon Sun"
To find the solution function : u(x,y)

Here is my solution:
Since the D.E. : Mdx+Ndy=0 is an exact D.E.
Let u=u(x,y) be the solution of this D.E.
and M(x,y)=R(x)+r(x,y), N(x,y)=Q(y)+q(x,y)

Note : let "\p" be the partial diff. symbol.
"\int" be the integral symbol

we have du=[\p u / \p x]dx+[\p u / \p y]dy
and (1) [\p u / \p x] = M , (2) [\p u / \p y] = N

thus, the solu. of (1) is
u = \int M dx + k(y)
= \int R dx + \int r(x,y)dx + k(y). -----(*)
where k(y) is the function of y.
By (2) and (*), we have
[\p u / \p y] = \int [\p r(x,y) / \p y] dx + k'(y)
= Q(y) + q(x,y)

Consider that k' = Q,
thus q(x,y) = \int [\p r / \p y] dx and
k(y) = \int k'(y)dy = \int Q(y)dy +c_1

Hence by (*) we have
u = \int R dx + \int r(x,y)dx + k(y)
= \int R dx + \int Q dy + \int r(x,y)dx + c_1 ---(i)
where c_1 is a constant.
Similarly,
u = \int R dx + \int Q dy + \int q(x,y)dy + c_2 --(ii)
where c_2 is a constant.

Finally, (i)+(ii) implies
2u = 2(\int R dx + \int Q dy)
+ \int r(x,y)dx + \int q(x,y)dy + c_1 + c_2
u = \int R dx + \int Q dy
+ [\int r(x,y)dx + \int q(x,y)dy] / 2 + c
where c = [c_1 +c_2] / 2.

This show that:
If we consider u=u(x,y) be the solution of the
D.E.: Mdx+Ndy=0
and let M(x,y)=R(x)+r(x,y), N(x,y)=Q(y)+q(x,y)
then the solution u(x,y) can be express as:
(1). u = \int R dx + \int Q dy
+ [\int r(x,y)dx + \int q(x,y)dy] / 2 + c
or
(2). u = \int R dx + \int Q dy + \int r(x,y)dx + c
or
(3). u = \int R dx + \int Q dy + \int q(x,y)dy + c.

Here has some problem:

How to take M(x,y)=R(x)+r(x,y) and
N(x,y)=Q(y)+q(x,y) ??
Why we can consider that k' = Q,
and q(x,y) = \int [\p r / \p y] dx ??

 2002-10-17 11:03
訪客








 Re: 一個關於恰當微分的速解法

> df = fxdx + fydy = 0
> S df = 0 => f(x,y) = c
> S fxdx + S fydy = or not = f(x,y) = c 會不會等於f(x,y)呢?

這個是有問題的!
S fxdx + S fydy 是兩個單變數積分之和,
是取 fx 及 fy 分別對 x, y 積分.
並不能看成 S [ fxdx + fydy] d?? --> 對什麼積分?
又 S df d?? --> 對什麼積分? 變數x, 或y??
或 (x,y) --> 重積分?

在 df = fxdx + fydy 定義中, dx , dy 是一個微量,
並不是在前面加積分號就會使等號成立.
所以 Leon Sun 提及
> (x+y)^2dx + (x+y)^2dy = 0
> 以這個題為例,用正常的解法所得的答案,和直接積分回去的答案是不一樣的,

當然不能直接積分回去!

 2002-10-17 11:26
訪客








 Re: 一個關於恰當微分的速解法

引文:

寫道:
> df = fxdx + fydy = 0
> S df = 0 => f(x,y) = c
> S fxdx + S fydy = or not = f(x,y) = c 會不會等於f(x,y)呢?

這個是有問題的!
S fxdx + S fydy 是兩個單變數積分之和,
是取 fx 及 fy 分別對 x, y 積分.
並不能看成 S [ fxdx + fydy] d?? --> 對什麼積分?
又 S df d?? --> 對什麼積分? 變數x, 或y??
或 (x,y) --> 重積分?

在 df = fxdx + fydy 定義中, dx , dy 是一個微量,
並不是在前面加積分號就會使等號成立.
所以 Leon Sun 提及
> (x+y)^2dx + (x+y)^2dy = 0
> 以這個題為例,用正常的解法所得的答案,和直接積分回去的答案是不一樣的,

當然不能直接積分回去!



先回覆這一篇,
df = fxdx + fydy
這是f(x,y)全微分式,
所以只有S df 而不是 S df d?? ,這是什麼我也不知道啦。
所以 S [ fxdx + fydy] d??是什麼我也是不知道啦。

我以為我標明了工數後fx是什麼,看的人就會知道,這是我不對造成各位的誤會,fx是f(x,y)對x的偏微分,而fy則是f(x,y)對y的偏微分。

所以若是f(x,y) = c,那 df = 0 ,反過來說
S df = f(x,y) = c。

 2002-10-17 22:14
訪客








 Re: 一個關於恰當微分的速解法

Thank for your response. But my english is too bad to response your problem in english. May I response your problem in chinese?

Problem 1

for a question as follow

(x+y)^2dx + (x+y)^2dy = 0

My = Nx = 2(x+y) => exact

(x+y)^2dx + (x+y)^2dy =0

=>(x^2 + 2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy + y^2)dy = 0

M(x,y) = R(x) + r(x,y) and N(x,y) = Q(y)+q(x,y)

At here, we divide M(x,y) and N(x,y) as follow

R(x) = x^2 ; r(x,y) = 2xy + y^2

Q(y) = y^2 ; r(x,y) = x^2 + 2xy

If M(x,y) or N(x,y) have any constant. Let it belone to R(x) or Q(y).

 2002-10-17 23:12
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 Re: 一個關於恰當微分的速解法

Thank for your response. But my english is too bad to response your problem in english. May I response your problem in chinese?

Problem 1

for a question as follow

(x+y)^2dx + (x+y)^2dy = 0

My = Nx = 2(x+y) => exact

(x+y)^2dx + (x+y)^2dy =0

=>(x^2 + 2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy + y^2)dy = 0

M(x,y) = R(x) + r(x,y) and N(x,y) = Q(y)+q(x,y)

At here, we divide M(x,y) and N(x,y) as follow

R(x) = x^2 ; r(x,y) = 2xy + y^2

Q(y) = y^2 ; r(x,y) = x^2 + 2xy

If M(x,y) or N(x,y) have any constant. Let it belone to R(x) or Q(y).

不好意思上兩篇都是我post的。

Problem 2

在我們把N(x,y)分成兩個部份,一為只涵有一個變數y如Q(y),其它的無法歸類為Q(y)的部份,就讓它們為q(x,y), 而在上面的証明中,的k'(y)它是一個單純y的函數,另外一個函數[ q(x,y) = \int [\p r / \p y] dx ]是x和y的混合函數,所以有理由相信

q(x,y) = \int [\p r / \p y] dx and Q(y) = k'(y)

但是相信歸相信,還是要証明出來才能說它是對的,在這裡我想只証明出 \int [\p r / \p y] dx 一定是x和y的混合函數,至於怎麼証明,請容我想想???


_________________

 2002-10-17 23:15個人資料
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 Re: 一個關於恰當微分的速解法

q(x,y) = \int [\p r / \p y] dx
我想這個証明應該很簡單,因為積分符號中是對於x做積分的運算,所以積出來的函數也應該函有x才對,所以如果 r(x,y)是一個任意的函數,對x做積分運至少它會是一個x的函數,所以在這裡我可以大膽的說 q(x,y) = \int [\p r / \p y] dx 是正確的。

你的証明比我的好多了,也較嚴謹,只是沒有那麼的直觀。


_________________

 2002-10-18 12:52個人資料
訪客








 Re: 一個關於恰當微分的速解法


我知道 df 它是全微分,但是我提出的質疑是
S df 的積分對象是什麼?
是x或y或x與y?
必須先說清楚,下面才有意義!
> 若是f(x,y) = c,那 df = 0 ,反過來說
> S df = f(x,y) = c。

再者,
S fxdx + S fydy是兩個函數分別對x與y積分,
我質疑的是
S [ fxdx + fydy] dt not = S fxdx + S fydy
因為"積分對象不同"

在 df = fxdx + fydy 定義中, dx , dy 是一個微量,
fx, fy是f對x,y偏微,
並不是在前面加積分號就會使等號成立.
並不是在前面加積分號S fx dx 就是一個積分!
fx dx 是一個函數!dx , dy 是一個微量!

引文:

先回覆這一篇,
df = fxdx + fydy
這是f(x,y)全微分式,
所以只有S df 而不是 S df d?? ,這是什麼我也不知道啦。
所以 S [ fxdx + fydy] d??是什麼我也是不知道啦。

我以為我標明了工數後fx是什麼,看的人就會知道,這是我不對造成各位的誤會,fx是f(x,y)對x的偏微分,而fy則是f(x,y)對y的偏微分。

所以若是f(x,y) = c,那 df = 0 ,反過來說
S df = f(x,y) = c。


 2002-10-18 17:57
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 Re: 一個關於恰當微分的速解法

既然是 S df 那就是對f(x,y)做積分。

還有在 fx dx 中,不是只有fx是函數嗎?

所以我覺得在 fx dx 之前加一個積分符號就是一個積分,如果它不是積分,那就代表在工數課本中的解法是錯的,因為它正是用這一個觀念出發的,

f(x,y) = S fxdx + k(y) = S fydy + h(x)

f(x) = S f ' dx = S df ; f ' 既為f(x)的導函數
所以我的第一個命題就是要問
df = fxdx + fydy
對其個別做積分運算有等於嗎?
S df = S fxdx + S fydy
其結當然是不等於,而是
1/2( t(x,y) + g(x,y) ) = f(x,y)

S fxdx = t(x,y) ; S fydy = g(x,y)


_________________

 2002-10-20 18:25個人資料
訪客








 Re: 一個關於恰當微分的速解法

我知道你所要問的是:
> df = fxdx + fydy
> 對其個別做積分運算有等於嗎?
答案如前述,當然不能等同視之!

我所想提出的是:
> 既然是 S df 那就是對f(x,y)做積分。
> 還有在 fx dx 中,不是只有fx是函數嗎?
這裡 Sdf 是對一群微量 df 作討論,以面積來看,
df如果是一小方塊的量,那 Sdf則表示這一大塊區域的面積值。嚴格的說,對象是df
但是在 fx dx 中,它是fx乘上一個微量dx!
舉例,假設fx是一常量和x無關,看成是一矩形的長,dx看成是寬,那麼fxdx是這矩形的面積,
當有一群這種矩形,若長也隨x變化,則fx已非一常量,而是隨x改變,所以fxdx則解釋為在微小寬度下,這矩形之面積值。所以是對dx討論!

如果只是由 fxdx + fydy 看,它當然不是只有fx和fy兩個函數!而是 fx 與dx 乘積 加上fy 與dy 乘積!
所以當寫出 S fx dx 時,當不光是 fx對x積分,
實質上是 一堆 fx dx 之值總和。 dx 在此就不是想成一個積分號附屬的符號,實質上它是一個和x有關的微量,只是在積分中,當分割夠細,每個dx幾乎可視為一定量,和x無關,才會只看在微小的x變化下fx之值,讓人誤以為就只有一堆fx在積分。符號S fxdx怎麼來的是一個key, 不是一個單純積分而已,應該從它由面積問題產生的方式,為何如此表示來理解它。 否則只是一個積分是毫無意義的。

至於全微分的定義 df =fxdx +fydy也是如此,
不能說因為有上述寫法,我只在兩邊加上積分號就要得到它的解,它是將f的微分定為fxdx +fydy
實際上也是一些討論才有的結果,當你將積分想成逆運算,那積分對象就有問題了!
總不能左邊同時對x,y積分,右邊分別對x與y積分吧!如果是這樣,不會有疑問嗎?



 2002-10-22 10:11
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 Re: 一個關於恰當微分的速解法

首先我還是謝謝你的回應

我不知道你是在質疑什麼,是否是嚴謹的問題?

如果是,那我已經說過我的描述並不嚴謹,所以你可以停下來了,因為沒有繼續下去的必要性。

如果不是,那我真的想問一下,不知你是在質疑啥?

我所學的是工數,而工數所講求的是它能用,而且它是對的,至於嚴不嚴謹那就交給純數去解決了,我只說僅管我的推導有問題,這沒關係因為已經有另一個合理的推導,所以如果你只是想從我之前的論述來推翻我的結論,很可能會白幫一場。

「至於全微分的定義 df =fxdx +fydy也是如此,
不能說因為有上述寫法,我只在兩邊加上積分號就要得到它的解,它是將f的微分定為fxdx +fydy
實際上也是一些討論才有的結果,當你將積分想成逆運算,那積分對象就有問題了!
總不能左邊同時對x,y積分,右邊分別對x與y積分吧!如果是這樣,不會有疑問嗎?」
全微分是這樣 df =fxdx +fydy 而我所要問的是
S df = or not = S fxdx + S fydy
為什麼我不能直接這樣子表示?
難到我就不能先令一個函數是fx的不定積分
g(x,y) = S fxdx ;(表尚未做積分的動作)
同理
r(x,y) = S fydy ;(表尚未做積分的動作)
然後我再問S df 是不是等於g(x,y) + r(x,y)?
繞了一圈不是又回到了我原來的問題了嗎?

還有時至今日積分的定義早就脫離了面積的慨念,而且早在牛頓和萊布尼茨近乎獨立的完成了微積分時,就已經知道積分和微分亙相逆運算,也就是說在此時積分法就已經脫了只面處理面積的問題。


_________________

 2002-10-22 21:29個人資料
訪客








 Re: 一個關於恰當微分的速解法

Dear Leon Sun,

其實我並無意爭論,我也不認為我在和你爭論,從我第一篇回應(即第四篇用很爛、很爛"數學英文"寫的證明)中,我已很了解你也很清楚S df 和 Sfxdx + S fydy 很不同!
所以為了嚴緊性,證明後才提出這一連串的問題。還有證明中留下待檢查的兩個問題。

主要希望很多觀念可以藉由大家討論中更清楚,當然很多嚴僅性對學工程的人他可能認為“會用”、“沒錯”,“結果正常”就好!但是這在從事研究的人來說是很要不得的。因為我們可能就因此毫無創新,只會拿別人開發好的東西,東改一點,西改一點的拼裝,或仿冒。

很多機會可以接觸到來自別人的問題或激勵,甚至是你回答了某人的問題,重點在過程中讓我們思考,讓我們從中自我成長。

可悲的台灣產業界。走出了學校後,從事研發的人還有多少人肯真正去抱著一本原文說明操作手冊,仔細分析產品可開發的每一種機構?可能日本人說這個東西可以有10種作用,我們的研究人員就只會這10種,也不弄清楚其實手冊上還提到很多鮮為人知,可進一步發展的函數庫,只是讓它從流行中退色,之後只剩原創人知道它還有別種玩法。

謝謝你的問題,也讓我重新回顧了我大學的一些片段!溫故而知新!

 2002-10-23 21:06
LeonSun
Just popping in



註冊日: 2002-09-03
發表數: 12


 Re: 一個關於恰當微分的速解法

謝謝你的回應,你的英文並不差我可以保証。

首先我先向你道個歉,因為你的回覆讓我聯想到了最近我在其它網站上所遇到的人士(那真是一個非常不好的經驗),所以回覆的語氣並不好,所以向你道個歉。

我非常同意你的看法,我在常常在想你所述描的事實,我想應不只國內,國外也差不多,只是他們比我們重視抽象的思考,而不是只會應用就好。

至於嚴謹性的問題,由於我不是學純數所以真的幫不上忙,不過想當初牛頓為了流數(導數)的嚴謹性,提出了一個"終極比值"來描述,微分和積分中無限小的困難,結果問題還是存在,到後來出現了極限這一個概念,來解決這一個困難,由於我是學工程的所以學的不是正統的極限,但是依據我後來所看的一些數學普通讀物(九章出的書很少是普通的),給我的感覺是不管我把範圍縮的如何的小,只要不是零而且其函數的變動值和變數的比值也向一個定值靠近,則我們就說導數存在,這樣子似乎是把問題給解決了,但是我覺它只是回避了問題,把問題給藏起來不去討論也無法討論,因為○除以○是多少,大概只有超越人的東西才知道(雖然覺得是任意值)。

最後還是要向你道個歉,畢盡大家都是對於數學有著一定程度上的興趣,為此破壞感情很不值得。


_________________

 2002-10-23 23:20個人資料


九章數學出版社、九章數學基金會版權所有
本網頁各鍊結標題及鍊結內容歸原權利人所有
Copyright 2000 ~2004九章數學出版社、九章數學基金會
本網站內所有文字及資料版權均屬九章所有,未經書面同意之商業用途必究
This web site was made with XOOPS, a web portal system written in PHP.
XOOPS is a free software released under the GNU/GPL license.

TW XOOPS Official WebsiteFreeBSD Official WebsiteApache Official Website

Powered by XOOPS 1.3.10 © 2002 The XOOPS Project